60631

Ocena dokładności - przykłady_ Edutrd Prrwtda

Zastosowania prawa narastania błędów średnich dla wielkości skorelowanych

Przykład 2. Punkt P jest wyznaczany metodą współrzędnych biegunowych Na podstawie wyników' pomiaru b = 200 m i p = 50*20' określić macierz kowariancji dla współrzędnych ,r i y wyznaczanego punktu, zakładając o, = ±2 cm,    = ±40" oraz, że azymut a jest równy kątowi p.

Rozwiązanie:

Funkcje wyrażające współrzędne v, y za pomocą b i p są następujące

x = bcosp=>dx = (cosp)db-(bsinp)dp y = bsinp=>dy = (sinp)db + (bcosp)dp

Współrzędne x i y są względem siebie zależne, zatem odpowiada im macierz kowariancji wyrażona zależnością

Cov(.v,y)=

COS p	n sin p	'Mb)	^01	COS p	sin p
-ósin p	bcosp	0	mJ	-ó sin p	bcosp

czyli

Cov(x,y) =

cos² pV(b)+b² sin² pV(p) sin pcospV(b)-b² sin pcospV(p) sin pcospv(b)-b² sin pcospv(p) sin²pv(b)+ b² cos² pV(p)

skąd

Cov(x,y)=

0.50 x 0.0004 + 20125.66 x 3 x 10” 0.50 x 0.0004 -19999.60 x 3x 10 ⁹

0.50x0.0004-19999.60x3x10’ I r0.00026 0.00014 0.50 x 0.0004 + 19874.34x 3x 10 L° ^{00014 0 00}°26

Przykład 3.

Obliczyć odchylenie standardowe odległości pomiędzy punktami 1 -2, jeżeli znana jest macierz kowariancji Cov(X) dla współrzędnych tych punktów (wariancje podano w mm²).

X,	= 0.000		10 1	-2 1
Y, X,	= 0.000 = 300.000	Cov(X) = Cov(X„ Y„ X,Y,) =	1 12 -2 3	3 2 15 -1
Y,	= 400.000		1 2	-1 6

d = VaX² + AY² = -;(X, - X,)^! + (Y, - Y,)^; V(d) = F^TCov(X) F

(id dXx		-!=(-2X2 + 2X,) 21d~		- AAT d		-300' 500
dd <*Y\		-^-(-272 + 2^) 2 V</“		-AY d		-400 500
dd		-*(2X2-2Xl) 2y]d^2		AX		300
d\\ dd'				d AY		500 400
		—f=(27> — 2łj 2 Jd^2		d		500.

-06

-0.8

0.6

0.8

W tym miejscu warto spojrzeć na równania obserwacyjne dla długości!

10 1-2 1

[-0.6 -0.8 0.6 0.8]x

(-7.2 -6.8 7.0 2.0]

1 12    3    2

-2    3    15    -1

12-16