60649

Ocena dokładności - przykłady_ Eduard Preurda

Zastosowania prawa narastania błędów średnich dla wielkości skorelowanych

Przykład 2. Punkt P jest wyznaczany metodą współrzędnych biegunowy ch Na podstawie wyników' pomiani b = 200 m i p = 50*20' określić macierz kowariancji dla współrzędnych x i y wyznaczanego punktu, zakładając o, = ±2 cm, o_b = ±40" oraz, że azymut a jest równy kątowi p Rozwiązanie:

Funkcje wyrażające współrzędne r, y za pomocą b i p są następujące

x = bcosp=>dx = (cosp)db-(bsinp)dp y = bsin p=>dy = (sin p)db + (bcospjdp

Współrzędne r i y są względem siebie zależne, zatem odpowiada im macierz kowariancji wyrażona zależnością

Cov(.v,v)=

COS p	sin p	V(b)	0 T cos p	sin p
-£sin fi	bcosp	0	F(/?){-2>sm/J	bcosp

czyli

Cov(x,y)=

cos² pV(b)+ b²sin² pV(p) sinpcospV(b)-b²sinpcospV(p) sinpcospV(b)-b² sin pcospV(p)    sin² pv(b)+ b² cos² pV(p)

skąd

Cov(x,y)=

0.50 X 0.0004 + 20125.66 x 3 x 10“* 0.50 x 0.0004 -19999.60 x 3 x 10 ’

0.50x0.0004-19999.60x3x10’ 1 [0.00026 0.00014 0.50 x 0.0004 + 19874.34 x 3x 10 ’J [o.00014 0.00026

Przykład 3.

Obliczyć odchylenie standardowe odległości pomiędzy punktami 1 -2, jeżeli znana jest macierz kowariancji Cov(X) dla współrzędnych tych punktów (wariancje podano w mm²).

X, = 0.000		10	i	-2 1
Y, = 0.000	Cov(X) = Cov(X,,Y,,X;Yj) =	1	12	3 2
X2 = 300.000		-2	3	15 -1
Y2 = 400.000 d = s/AX^2+AY^2 =,	/(X, - X, )^2 +(Y, - Y, )^2	i	2	-1 6

V(d) = F^TCov(X) F

cid
d\\
ód
dYx
dci
dX2
dci

l

2>/rf²

1

(-2T, + 2k,)

(2*2-2*,)

(2*2 - 2k,)

(-2*2 + 24',)

	-AX		-300
	d		500		-0.6
	-AY		-400
	d		500		-0.8
	AX		300		0.6
	d		500
	AY		400
	d		500.

W tym miejscu warto spojrzeć na równania obserwacyjne dla długości!

10	1	_ 2	1
i	12	3	2
_2	3	15	-1
1	2	-1	6

7.2 -6.8 7.0 2.0]