60843

Dodatkowe zadania z „Metod akmarialnych” 2010/2011. Jedno zadanie może rozwiązywać co naiwyżei 3 studentów. Rozwiązania w postaci elektronicznej (rozwiązanie w Wordzie, obliczenia w Exehi lub R) należy przesłać pocztą elektroniczną najpóźniej do 20.01.2011. godz. 24:00 (po tym terminie nie będą przyjmowane). Zdania nie są obowiązkow e. Proszę, aby dięmi podzielili się ninii, a jeżeli okaże się, że jest idi za mało, to proszę do innie napisać maila (wyślę następne). Jeżeli otrzymam rozwiązania tego samego zadania od dwóch grup, (o bede sprawdza! rozwiązanie otrzymine w pierwszej kolejności.

Temat 2.

W pewnym portfelu ubezpieczeń (złożonym z 20 polis) wypłata z polisy (o ile do niej dojdzie) jest opisywana przez jedną z czterech następujących zmiennych losowych (podana jest liczba wypłacanych jednostek pieniężnych i odpowiadające jej prawdopodobieństwo):

- zmienna Bi

b,	1	2	3	4
P(Bi=bi)	0,2	0,3	0,4	0,1
- zmienna B2 b2	1	2	3
P(B2=b2)	0,4	0,5	0,1
- zmienna B3 b3	1	2
P(B3=b3)	0,4	0,6
- zmienna B4 b4	1	2
P(B4=b4)	0,9	0,1

Strukturę tego portfela przedstawia następująca tabela:

Prawdopodobieństwo	Rozkład wypłaty
	B,	b2	b3	b4
0.01	1	-	2	3
0.03	-	2	1	1
0.05	2	-	1	-
0.07	-	-	-	3
0.09	-	2	1	1

Źródło: Dane umowne.

Oznacza to, że w portfelu są np. 3 polisy, dla których do wypłaty dochodzi z prawdopodobieństwem 0,07 oraz

jeżeli już dojdzie do wypłaty, to jej wysokość jest opisywana przez zmienną B.i, itd.

a)    Wyznaczyć składkę netto dla tego portfela (S„,, = E(Z)).

b)    Ocenić ryzyko portfela (jako miarę ryzyka przyjąć odchylenie standardowe i współczynnik zmienności wypłat).

c)    Wykorzystując metodę splotu lub odpowiedni algorytm De Prila wyznaczyć rozkład łącznej wypłaty dla tego portfela (podać funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę).

d)    Wykorzystując wyznaczony rozkład, zaprojektować fundusz ubezpieczeniowy (tzn. podwyższoną składkę netto S dla całego portfela lub inaczej składkę uwzględniającą dodatek bezpieczeństwa) w takiej wysokości, aby z prawdopodobieństwem 0,99 nie został przekroczony przez wypłacone odszkodowania.

2