kolokwium nr1 10 11

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Zad.l. [ 6p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ]

a)    Zbadać, czy pole wektorowe F = [3ye³* + ze? + y²z², e^3x + 2xyz², e* + 2xy²z\ spełnia warunek wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.

b)    Sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć:

J (3ye^3x + ze¹ + y²z²) dx + (e^3x + 2xyz²) dy + (e^x + 2xy²z) dz

AB

jeżeli 4(0,2,0) i £(0,0,1).

Zad.2.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć moment bezwładności względem początku układu współrzędnych luku, będącego częścią okręgu x² + y² = 1 leżącą w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, jeżeli gęstość masy g(x,y,z) = x²y².

Zad.3.    [ 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczyć    f(2x² + y²)dx - x²ydy , jeżeli L jest lukiem

L

L ■ y = 2^/x, skierowanym od punktu >1(1,2) do punktu £(4,4).

Zad.4.    (5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 J

Dla krzywej o równaniu:

L : r(t) — [i + 1, 2t² - 1, t³ + t]

wyznaczyć równanie prostej stycznej i płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie

£(1,—1,0).

Zad.5.    [ 4p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

a)    Obliczyć krzywiznę i promień krzywizny krzywej L . { x² + y² — z = y w punkcie P(l, 0,0).

b)    Co znaczy, że punkt Mo (OM = r(to)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty wyprostowania?