82160

str 3

W8/9

Powyższe kwadratury nic są kwadraturami interpolacyjnymi w myśl przyjętej wyżej definicji. Można uważać je jako kwadratury wynikające z interpolacji funkcji podcałkowej za pomocą funkcji sklejanych (wielomianowych). Dokładniej - co najmniej ciągłych funkcji sklejanych.

Intgpwlaęja gwmętryęaia

Błąd złożonej kwadratury trapezów dla funkcji f klasy C2((a,b]) wyraża się wzorem 12-n

natomiast błąd złożonej kwadratury parabol dla funkcji f klasy C⁴([a,b]) jest postaci 2880-n

gdzie i £₂ są pewnymi punktami z przedziału (a,b).

Kwadratury Gaussa

Obecnie rozpatrzymy problem wyboru węzłów i współczynników tak, aby rząd kwadratury był jak najwyższy. Taką kwadraturę nazywamy kwadraturą Gaussa.

Kwadratury Gaussa są kwadraturami interpolacyjnymi. Stąd współczynniki A_k określone są wzorami

^{Ak =} J ^p(x)1k^^x)dx

Tak więc problem sprowadza się do odpowiedniego wyboru węzłów x_k .

Kwadratury Gaussa-Lcgendrc'a

Kwadratury najwyższego rzędu z wagąp(x)H nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a Dląpr/ędziąłucąłkowąniąjJ J ],

węzły x₀,x_t,....ji_a są pierwiastkami (n+l)-go wielomianu Legendre'a .

1 dⁿ / 2 \^D

n-ty wielomian Legcndrc'a:    P_n(x) ----—U - 1)

2’ n! dx"

P₀(x)-l.P,(x).x, P₂(x)-0.5<3x²-1)........

Dla n = 1 mamy

xo =    = -0.577...... x, = Ą= = 0.577...... Ao = 1. A_: = 1

Dla przedziału całkowania [-1,1], 2 - punktowa kwadratura Gaussa-iegendre'a jest postaci

“■(aMa)

Interpretacja geometryczna