3582326457

str3

W8/9

Powyższe kwadratury nie są kwadraturami interpolacyjnymi w myśl przyjętej wyżej definicji. Można uważać je jako kwadratury wynikające z interpolacji funkcji podcałkowej za pomocą funkcji sklejanych (wielomianowych). Dokładniej - co najmniej ciągłych funkcji sklejanych.

Interpretacja geometryczna

Błąd złożonej kwadratury trapezów dla funkcji f klasy C²([a,b]) wyraża się wzorem

12-n

natomiast błąd złożonej kwadratury parabol dla funkcji f klasy C⁴([a.b]) jest postaci

E(f) —

2880-n⁴

gdzie i są pewnymi punktami z przedziału (a.b).

Kwadratury Gaussa

Obecnie rozpatrzymy problem wyboru węzłów i współczynników tak. aby rząd kwadratury był jak najwyższy. Taką kwadraturę nazywamy kwadraturą Gaussa.

Kwadratury Gaussa są kwadraturami interpolacyjnymi. Stąd współczynniki A_k określone są wzorami

*b

^Ak

P(x)l_k(x) dx a

Tak więc problem sprowadza się do odpowiedniego wyboru węzłów x_k .

Kwadratury Gaussa-Lcgcndrc’a

Kwadratuiy najwyższego rzędu z wagą p(x)= I nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre'a Dla przedziału całkowania [-1.11.

węzły x₀,X|,....,x_n są pierwiastkami (n+l)-go wielomianu Legendre'a .

1 H" / ? \ⁿ

n-ty wielomian Legendre’a:    p (x) ---— (x - I)

2ⁿ-n! dx"

P„(x) = 1, Pj(x) = x, P₂(x) - 0.5 (3x²-l),.......

Dla n - 1 mamy

Xo = —!: = -0.577...... x, = -Jr = 0.577...... Ao = 1 . A, = 1

V3    V3

Dla przedziału całkowania [-1,1]. 2 - punktowa kwadratura Gaussa-Legendre'a jest postaci

	+fm
In/bJ	UJ

(

S(f) = f

Interpretacja geometryczna