82292

Uwaga 6.1 Jeżeli promień otoczenia nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiór 0(Pq. r) będziemy oznaczali 0(Po).

Definicja 6.2 (Zbioru otwartego) Zbiór A C 71" nazywamy otwartym w przestrzeni Tl" jeżeli spełnia warunek:

(VP £ 4) (30(P)) : 0(P)cA

Definicja 6.3

Odwzorowanie f : A —* V, nazywamy funkcją rzeczywista n zmiennych, a zbiór A-dziedziną tej funkcji.

Zbiór f(A) = {/(x) : x £ A} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

Definicja 6.4 (Wykres i poziomica funkcji)

Wykresem funkcji / : A —» 71 jest zbiór punktów w przestrzeni 7l^n+l o współrzędnych

(x_l,x₂,...x_n,f(x_l,X2.....x_n)) , (xi,x₂.....x„) £ A.

W szczególności, wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór

W = {(x, y, z) £ Tl³ : (x, y) £ A. z = f(x, j/)} tworzący na ogól pewną powierzchnię w Tl³. Poziomicą wykresu funkcji / odpowiadającą jKtziomouń h £71 nazywamy zbiór:

{P£A : f(P) = h}

Definicja 6.5 (Zbieżności ciągu w przestrzeni Tl")

Ciąg {Pt} € 71" , Pk = ^x\.x₂.....x_n^j zbiega do punktu Po € Tl"

Po = i^x\,x₂----,x°_nj wtedy i tylko wtedy, gdy \im d(Pk, Po) = 0.

Uwaga 6.2 Ciąg {Pk} € 71" , Pk =    .x₂.....x„^j zbiega do punktu

Po £ 71" . Po — ^xi.x₂....    wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

i = 1.2,.... n lim £j=x,.

k—oo

Definicja 6.6 (Punktu wewnętrznego zbioru) Punkt Po £ 71" jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy

(3r > 0) :0(Po.r)cA

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy int A i nazywamy wnętrzem tego zbio-

Definicja 6.7 (Punktu skupienia zbioru) Punkt P₀ nazywamy punktem skupienia zbioru A. jeśli

(3 {P,,} C -4, P„ * Po) : km P_n = P₀

Uwaga 6.3 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.

Definicja 6.8 (Domknięcia zbioru) Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór ~A.

Po£A ** (3{P„}Ci4) : lim P„ = P₀

n—*oo

Uwaga 6.4 Zauważmy, że A C ~A, ponieważ każdy element P £ A możemy traktować jako granicę ciągu stałego Pk = P.

36