85807

Zadanie 2

Koło mające nieruchomą oś otrzymało początkową prędkość kątową co₀ = 2n[rad/s]. Po wykonaniu 10 obrotów, wskutek tarcia w łożyskach, koło zatrzymało się. Obliczyć opóźnienie kątowe c tego koła uważając je za stałe.

Ruch jest jednostajnie opóźniony wobec tego: e =—^ czyli co =—fedt -t-C

dt

C - stała zależna od warunku początkowego,

e jest stałe (nie zależy od czasu) stąd: co=—cJdt-f-C czyli co= —et+C ^<°l,-«=(*>o-C = G)_t, - C0 = -€t+C0_o

w = — czyli: <P = J<odt -i-C,, cp — kąt obrotu, Ci - stała zależna od warunku początkowego, cp =J(-et + co₀)dt+C, =-cJ tdt +co₀Jdt +C, = -^ct² + co₀t+C,

^<p|,_₀= 0 — Ci = 0 — <p=co₀t — ~^et2» oznaczmy przez ti czas, po którym koło zatrzymało się:

“l,-,=0 - 0=—€t,+co₀- t, =-y , <p|,^,=(p, - (p, =co₀t,-ietj

podstawiając ti do wzoru na q>i mamy: cp. =— stąd: e =—— (tpi = 20n tj. 10 obrotów)

2e    2cp,

podstawiając dane liczbowe otrzymujemy: £ =    [rad/s²].

Zadanie 2a

Walec obraca się dokoła swej nieruchomej osi symetrii tak, że jego opóźnienie kątowe £ jest proporcjonalne do jego prędkości kątowej co ze współczynnikiem k. Prędkość początkowa walca wynosiła C0» Wyprowadzić równanie ruchu obrotowego walca cp(t).

Z treści zadania wynika równanie: £=^=—kco, znak minus oznacza, że mamy do czynienia z ruchem opóźnionym. Rozdzielamy zmienne (co,t) i całkujemy stronami:

co    •'co

lnco =—kt -f-C, co|_|C =co

— =—kdt —> J—— =—k Jdt +C, C - stała zależna od warunku początkowego

C =lnco.

lnco =—kt -i-lnco.

przekształcamy ostatni wzón lnco — lnco₀ — — kt —> ln—- — —kt —» — — e ^h z ostatniego wzoru wynika wzór na prędkość kątową: co =co_Qe~^k‘ związek między kątem obrotu (cp) i prędkością kątową: ^{co =} ~j~ ^=c°o^e^“ rozdzielamy zmienne (<p,t) i całkujemy stronami:

dtp =co₀e^-k,dt —> Jdcp =co_Q Je~^k'dt -t-C, , Q - stała zależna od warunku początkowego

cp = -—e^_kl +C,,<p| =0 —» 0 = -—+ C,—» C,= — k    ^{1 y,}'*°    k ^1    1 k

,    . i i    i    -ki    CO o ,. _ia _N

równanie mchu obrotowego walca: <p = —— e + ---> cp = — (1-e    ).

k    k    k