95684

r_k* = r(t_k) = (x[. y[) = (x(t_k). y((*)) - punkty poślednie na łuku \.|/V indukowane przez wybór punktów pośrednich podziahi

p. I £ k£ n;

Ar_k = r(t_Ł)-r(t_k ,)= (A^.AyJ. gdzie Ax₁ = x(t_k)- x(t_k,). Ay_k = y(l_k)- y(t_k ,). 1 Skśn.

=t_n I, I. ,* I **

Kys. 2.1.5 Podział odcinka [a./3) i podział łuku zorientowanego f indukowany przez ten podział

Det. 2.1.3 (całka krzywoliniowa zorientowana)

Niech F =(P,Q) będzie polem wektorowym określonym na łuku zorientowanym T c R^:. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego F po łuku T definiujemy wzorem:

łkf    n    .

f P(x,y)dx + QUy)dy = lim V(p(_x*,y-jA^ + Q(x_k\ y[)Ay_k).

r    *^{r

o ile granica po prawej stronie znaku równości isUiieje oraz nie zależ)' od sposobu podziahi f przedziału [a,p\. ani od sposobu wyboru punktów poślednich S. Powyższą całkę oznaczamy krótko przez J Pdx + Qdy •

r

Uwaga. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego F = (P.Q. R) po łuku T położonym w przestrzeni definiujemy analogicznie i oznaczamy symbolem:

J P(x. y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz lub krótko J Pdx + Qdy + Rdz. r    r

W zapisie wektorowym definicja całki krzywoliniowej zorientowanej z pola wektorowego F = (P.Q) lub poła wektorowego

F =(P,Q. R) po łuku zorientowanym T położonym odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni przyjmuje jednolitą formę:

Jcf    n

F (r_k*) o Ar_k*,

o dr = lim V

S{t

dc#    dc#

gdzie dr =(dx,dy) lub dr = (dx,dy,dz). Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F po łuku Y oznaczamy też krótko

symbolem J F o dr •

r

Rys. 2.1.6 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej w formie wektorowej

I)ef. 2.1.4 (całka krzywoliniowa po sumie hików zorientowanych)