2588001171

Nazwa kierunku Geodezja i kartografia

Wyższa Szkoła Działalności Gospodarczej _Przedmiot

Matematyka

_Treści programowe_

Liczby zespolone. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Wzory de Moivre"a dla mnożenia, potęgowania i pierw iastkowania liczb zespolonych.

Definicja grupy pierścienia i ciała. Ciało liczb zespolonych. Grupy macierzy rzeczywistych i zespolonych. Macierze rzeczywiste i macierze hermitowskie. Macierze ideinpotentne. Rzuty i rzuty ortogonalne. Inwolucje. Ślad i wyznacznik macierzy jako niezmienniki podobieństwa.

Alternatywa, koniunkcja i negacja zadań. Funkcje zadaniowe i kwantyfikatory. Implikacja. Algebra zbiorów. Wzory de Morgana. Nieskończoność, suma. przekrój zbiorów .

Iloczyn kartezjański. Relacje - ich dziedziny, obraz} i przeciwobrazy zbiorów . Interpretacje relacji. Graf}'. Superpozycje relacji, relacje odwrotne. Odwzorowania i ich odwracalność. Iniekcje, suriekcje i bijerekcje. Zbioiy przeliczahie, moc zbioru.

Ciągi liczbowe, granica ciągu. Zbieżność ciągów' w przestrzeniach metrycznych. Tw ierdzenie o zbieżności ciągów w R" po współrzędnych. Liczba e.

Funkcja rzeczywista jednej zmiennej i jej własności. Funkcje elementarne.

Granica funkcji i ciągłość funkcji rzeczywistych. Granice w nieskończoności funkcji zmiennej rzeczywistej. Granice niewłaściwe. Asymptoty pionowe i ukośne. Kresy zbiorów w R i funkcji rzeczywistych.

Szeregi liczbowe. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryteria d'Alemberta. Cauchy’ego i Leibniza. Całkowite kryterium zbieżności szeregu liczbow ego.

Szeregi potęgowe (rzeczywiste i zespolone). Promień zbieżności. Szereg Taylora. Różniczkowanie szeregu potęgowego. Pochodna funkcji. Funkcje wielu zmiennych. Twierdzenie Rolle'a. Twierdzenie Lagrange a. Wzór Newtona-Leibniza. Pochodna ilorazu i superpozycji. Tw ierdzenie o lokalnej odw racalności funkcji.

Pochodne cząstkowe i kierunkowe, gradient, różniczka. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora. Reguła de i Hospitala. Wypukłość i wklęsłość funkcji- warunki konieczne i dostateczne dla punktów przegięcia funkcji klas}' C". Ekstrema lokalne funkcji na przestrzeniach metrycznych. Warunki konieczne i dostateczne ekstremum lokalnego funkcji zmiennej rzeczywistej.

Zastosowania geometryczne pochodnych funkcji wielu zmiennych.

Całka funkcji jednej zmiennej.

Twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych i o analityczności szeregów potęgowych. Pochodne funkcji nieoznaczonych. Całka nieoznaczona. Obliczanie przez części i przez podstawienie całek nieoznaczonych. Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych.

Całka oznaczona. Całka Riemanna na odcinku. Twierdzenie o wartości średniej. Twierdzenie podstawowe rachunku całkowego. Właściw ości całki i jej zastosowanie.

Całka niewłaściwa. Funkcja gamma i beta Eulera. Rozkład normalny i jego dystrybuanta.

Zastosowania geometryczne całek.

Funkcja uwikłana. Pochodna funkcji uwikłanej. Twierdzenie o prostopadłości gradientu do poziomicy.

Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Mnożniki Lcgrangca.

Twierdzenie o pochodnej funkcji uwikłanej a całka ogólna równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu z jedną funkcją niew iadomą.

Całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych o zmiennych rozdzielonych. Całkowanie szeregu potęgowego.

Całki wielokrotne, współrzędne walcowe i sferyczne. Elementy' teorii pola. Całki krzywoliniowe.

Rów nania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Rów nanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

Algebra liniowa. Macierze. Działania na macierzach, dodawanie i mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy. Macierz zerowa, jednostkowa, transponowana. Podstawowe własności działań na macierzach. Macierz odwrotna. Wyznaczanie macierzy odwrotnej.

Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Definicja wyznacznika stopnia jeden, dwa, trzy i w iększego.

Rozwiązywanie układów' równań liniowych. Układy i macierze. Twierdzenie Kroneckera Capeliego. Metoda Gaussa. Układy i wzory Cramera - definicja i tw ierdzenie.

Elementy geometrii analitycznej w R². Elementy' geometrii analitycznej w R\

Iloczyn skalamy, wektorowy', mieszany. Krzywe stożkowe.

Płaszczyzna. Prosta. Powierzchnie drugiego stopnia. Kwadryki (parabole, hiperbole, elipsy, okręgi, paraboloidy eliptyczne i hiperboliczne. hiperboloidy jedno i dwupowlokow e, elipsoidy, sfery).

Elementy' analizy wektorowej. Funkcja wektorowa jednej zmiennej. Granica i ciągłość funkcji wektorowej jednej zmiennej. Pochodna funkcji wektorowej jednej zmiennej. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora. Funkcja wektorowa dwu zmiennych, granica, pochodne cząstkowe, wzór Taylora.

Krzywe w przestrzeni euklidesowej E². Krzywa i jej przedstawienia parametryczne. Naturalne przedstawienie parametryczne krzywej. Styczna do krzywej. Rząd styczności krzywych płaskich, krzywa ściśle styczna. Okrąg ściśle styczny, krzywizna krzywej płaskiej. Obwiednia jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Ewoluta i ewolwenta krzywej płaskiej. Naturalne równanie krzywej płaskiej. Płaszczyzna ściśle styczna, trójścian Freneta. Krzywizna i skręcenie krzywej w przcstrzciu euklidesowej E^!. wzory Frenela, Powierzchnie w przestrzeni euklidesowej E~.