plik


ÿþZ. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki WykBad 24 24. Drgania elektromagnetyczne 24.1 Wstp Przypomnienie: masa M na spr|ynie, bez oporów. Równanie ruchu d2 x M = -kx 2 d t Rozwizania x = AcosÉt v = dx/dt = AÉsinÉt a = d2x/dt2 =  AÉ2cosÉt przy warunku É = (k/M)1/2. 24.2 Obwód LC Rozpatrzmy obwód zBo|ony z szeregowo poBczonych indukcyjno[ci L i pojemno[ci C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). ZaBó|my, |e w chwili pocztkowej na kondensatorze C jest nagromadzony Badunek qm, a prd przez cewk jest równy zeru. Energia zawarta w kondensatorze WC = qm2/(2C) (24.1) jest maksymalna, a energia w cewce WL = LI2/2 (24.2) jest równa zeru. Po zamkniciu obwodu, kondensator rozBadowuje si przez cewk. W obwodzie pBynie prd I = dq/dt. W miar jak maleje Badunek na kondensatorze maleje te| energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a ro[nie energia pola magnetycznego, które pojawia si w cewce w miar narastania w niej prdu. Wreszcie gdy Badunek spadnie do zera caBa energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prd w cewce indukcyjnej ma maksymaln warto[. Ten prd Baduje kondensator (przeciwnie) wic energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan koDcowy jest taki jak pocztkowy tylko kondensator jest naBadowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si. Mamy wic do czynienia z oscylacjami Badunku (prdu). 24-1 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki Opis ilo[ciowy Z prawa Kirchoffa UL + UC = 0 d I q L + = 0 (24.3) d t C Poniewa| I = dq/dt wic d2 q q L = - (24.4) 2 d t C To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr|yny, przy czym nastpujce wielko[ci s analogiczne q ”! x, L ”! M, 1/C ”! k Tak wic mo|emy napisa rozwizanie tego równania q = qmcosÉt I = dq/dt = qmÉsinÉt = ImsinÉt É = (1/LC)1/2 (24.5) gdzie Im = qmÉ UL = - LdI/dt =  LImÉcosÉt UC = q/c = (qm/C)cosÉt Poniewa| LImÉ = LqmÉ2 = Lqm(1/LC) = qm/C wida, |e amplitudy napi s takie same. 24.3 Obwód szeregowy RLC Dotychczas rozwa|ali[my obwód zwierajcy indukcyjno[ L oraz pojemno[ C. Tymczasem ka|dy obwód ma pewien opór R, przykBadowo jest to opór drutu z którego nawinito cewk. Obecno[ oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielajcego si ciepBa. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tBumione analogiczne do drgaD tBumionych spr|yny opisanych w wykBadzie 12, przy czym wspóBczynnik tBumienia 1/2Ä jest równy R/2L. Drgania w obwodzie RLC mo|na podtrzyma je|eli obwód bdziemy zasila napiciem sinusoidalnie zmiennym U (t) = U0 sinÉt 24-2 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierajcego elementy R, L, C oraz zródBo SEM ma posta d I q L + RI + = U0 sinÉt (24.6) d t C ró|niczkujc po dt d2 I d I I L + R + = ÉU0 cosÉt (24.7) 2 d t d t C albo d2 I R d I I ÉU0 + + = cosÉt (24.8) 2 d t L dt LC L To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ”! 1/Ä, 1/LC ”! É02 oraz ÉU0/L ”! ±0. Rozwizanie ma wic analogiczn posta I = I0 sin(Ét -Õ) . Amplituda wynosi wic V0 I0 = (24.9) 2 1 ëø öø R2 + ÉL - ÷ø ìø ÉC íø øø a midzy napiciem i nat|eniem prdu istnieje ró|nica faz, dana równaniem 1 É L - ÉC tgÕ = (24.10) R Wyra|enie (24.9) ma posta prawa Ohma przy czym staBa proporcjonalno[ci pomidzy U0 i I0 2 1 ëø öø Z = R2 + ÉL - ÷ø (24.11) ìø ÉC íø øø peBni analogiczn rol jak opór R w prawie Ohma. Wielko[ Z nazywamy impedancj (zawad) obwodu. q Gdy zmienne sinusoidalne napicie przyBo|ymy do kondensatora to U = C Std dU I = d t C 24-3 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki co dla U=U0sinÉt daje I ÉU0 cosÉt = C Std I = ÉCU0 cosÉt = ÉCU0 sin(Ét + 90o ) Wida, |e prd wyprzedza napicie na kondensatorze o 90°. Maksymalny prd I0 = U0/(ÉC) a staBa proporcjonalno[ci 1/ÉC peBnica rol analogiczn do oporu w obwodzie prdu staBego nazywamy reaktancj pojemno[ciow. XC = 1/ÉC (24.12) Je|eli generator prdu zmiennego podBczymy do cewki indukcyjnej to analogicznie mo|na pokaza, |e U0 U0 I = - cosÉt = sin(Ét - 90o ) ÉL ÉL Prd pozostaje za napiciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma warto[ XL = ÉL (24.12) Zauwa|my, |e w obwodzie RLC, pomimo poBczenia szeregowego oporów omowego, pojemno[ciowego i indukcyjnego ich opór zastpczy (zawada) nie jest prost sum tych oporów. Wynika to wBa[nie z przesuni fazowych. Trzeba je uwzgldni przy dodawaniu napi. U = UR + UC + UL czyli U = I0RsinÉt - XCI0cosÉt + XLI0cosÉt (na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I) Std U0 = R sinÉt + (X - X )cosÉt L C I0 Mamy teraz doda sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku. Mo|emy przy tym skorzysta z wyra|enia (24.10) wedBug, którego tgÕ = (XL - XC)/R .Relacja ta jest pokazana na rysunku poni|ej Zauwa|my, ze przeciwprostoktna trójkta na rysunku jest równa zawadzie Z = (R2 + (XL - XC)2)1/2. 24-4 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki Z (XL - XC) Õ R 24.3.1 Rezonans Drgania Badunku, prdu i napicia w obwodzie odbywaj si z czsto[ci zasilania É. Amplituda tych drgaD zale|y od É i osiga maksimum dla pewnej charakterystycznej warto[ci tej czsto[ci. Przypomnijmy, |e zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla maBego oporu R czyli dla maBego tBumienia warunek rezonansu jest speBniony gdy 1 É = É0 = (24.13) LC Nat|enie prdu osiga wtedy warto[ maksymaln równ U0 I0 = (24.14) R Widzimy, |e nat|enie prdu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie byBo w nim ani pojemno[ci ani indukcyjno[ci, a zawada wynosiBa R. PrzykBad Drgania wymuszone w obwodzie mo|na tak|e wywoBa bez wBczania bezpo[redniego zródBa SEM w postaci generatora. PrzykBadem mo|e by ukBad RLC w obwodzie wej[ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni|ej. UkBad ten jest zasilany sygnaBem z anteny. W ukBadzie dostrojenie do czstotliwo[ci danej radiostacji jest osigane przez dobranie pojemno[ci. W ten sposób jest speBniony warunek rezonansu dla tej czstotliwo[ci. 24-5 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki Przyjmijmy, |e w pokazanym ukBadzie R = 10 &!, a L = 1 µH. Sprawdzmy, jaka powinna by pojemno[ C aby uzyska dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na czstotliwo[ci 101 MHz? Korzystajc z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF. W warunkach rezonansu napicie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe U0 1 U0 L UC,rez = I0 X = = C R É0C R C Je|eli sygnaB wej[ciowy z anteny ma amplitud 100 µV to napicie na kondensatorze przy czstotliwo[ci rezonansowej ma warto[ 6.35 mV. Dla porównania napicie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o czstotliwo[ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV. 24.3.2 Moc w obwodzie prdu zmiennego W obwodzie prdu przemiennego moc dana analogicznym wyra|eniem jak dla prdu staBego P(t) = U (t)I(t) (24.15) ale warto[ jej zmienia si bo zmienne jest napicie i nat|enie prdu. Dlatego te| w przypadku prdu zmiennego posBugujemy si warto[ciami [rednimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi P(t) = U (t)I(t) = U0I0 sinÉt sin(Ét -Õ) Korzystajc ze wzoru na sinus ró|nicy któw otrzymujemy 1 P(t) = U0I0 sinÉt (sinÉt cosÕ - cosÉt sinÕ) = U0I0 (sin2 Ét cosÕ - sin 2Ét sinÕ) 2 gdzie skorzystali[my z relacji sinÉt cosÉt = sin 2Ét 2 . Moc [rednia jest wic dana wyra|eniem 1 P = U0I0 (sin2 Ét cosÕ - sin 2Ét sinÕ) 2 Poniewa| sin2 Ét + cos2 Ét = 1 to sin2 Ét = cos2 Ét = 1 2 (wykresy sinus i cosinus s takie same, jedynie przesunite o À/2). Ponadto sin 2Ét = 0 bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzgldniajc, ponadto |e U0 = ZI0 oraz, |e (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) cosÕ = R Z otrzymujemy wyra|enie na moc [redni 2 U0I0 (ZI0 )I0 I0 R R P = cosÕ = = (24.16) 2 2 Z 2 24-6 Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki Jak widzimy, [rednia moc zale|y od przesunicia faz. Przypomnijmy, |e dla prdu staBego P = I2R. Z porównania tych dwóch wyra|eD dochodzimy do wniosku, |e moc [rednia wydzielana przy przepBywie prdu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak prdu staBego o nat|eniu I0 Isk = (24.17) 2 T wielko[ nazywamy warto[ci skuteczn prdu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczn warto[ci napicia prdu zmiennego U0 U = (24.18) sk 2 Mierniki prdu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytuj wBa[nie warto[ci skuteczne. Warto[ napicia 220 V w naszej sieci domowej to warto[ skuteczna. Obliczyli[my moc [redni wydzielan w caBym obwodzie. Porównajmy j teraz ze [redni moc tracon na oporze R 2 I0 R 2 2 PR = I (t)R = I0 sin2 Ét R = 2 Widzimy, |e caBa moc wydziela si na oporze R, a to oznacza, |e na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwrómy uwag, |e ten wniosek pozostaje w zgodno[ci z naszymi wcze[niejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje si tylko pojemno[ lub indukcyjno[ (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe À/2, a poniewa| cos(À/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) [rednia moc jest równa zeru. Jednocze[nie zauwa|my, |e moc chwilowa zmienia si z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do ukBadu). Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiBy odrbne cz[ci nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które maj zBo|one wBasno[ci. PrzykBadem mo|e tu by cewka, która oprócz indukcyjno[ci L ma zawsze opór R oraz pojemno[ midzyzwojow C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozBo|onych. 24-7

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Die Geschichte der Elektronik (10)
model ekonometryczny 5 energia elektryczna (10 stron)
egzamin polowkowy z elektroniki 10
elektronika 10 kwie 09
Elektrorafinacja 10 15

więcej podobnych podstron