��XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA KOMITETU IN{
YNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN I KOMITETU NAUKI PZITB Opole  Krynica 2002 Wojciech {
�A
TOWSKI1 El|
bieta SZMIGIERA2 StanisB
aw JEMIOA
O2 LesB
aw KWAZ
NIEWSKI2 PRACA ZESPOLONYCH SA
UP�W STALOWO-BETONOWYCH NA PODSTAWIE BADAC
I ANALIZY METOD
MES 1. Wprowadzenie W pracy przedstawiono opracowane modele numeryczne sB
up�w zespolonych stalowo- betonowych oraz podano wyniki obliczeD
, uzyskane metod
element�w skoD
czonych (MES), z zastosowaniem systemu ABAQUS [1, 2]. Rozpatrywane sB
upy badano wcze[
niej w laboratorium, gdzie modele w skali 1:1 poddawano osiowemu [
ciskaniu, a|
do zniszczenia elementu [7]. Podstawowym celem analizy jest por�wnanie wynik�w do[
wiadczalnych z wynikami numerycznymi MES. Cele analizy s
nast
puj
ce: 1. opracowanie modeli MES sB
up�w zespolonych stalowo-betonowych, dla kt�rych warunki brzegowe i charakter zniszczenia jest zbli|
ony do pracy element�w badanych w la- boratorium, 2. por�wnanie wynik�w do[
wiadczalnych i numerycznych, 3. ustalenie przekroj�w sB
upa, w kt�rych nast
puje koncentracja napr
|
eD
i zarysowanie betonu, 4. ustalenie przebiegu [
cie|
ki r�wnowagi statycznej. W pracy podano podstawowe informacje o nieliniowych relacjach konstytutywnych stali i betonu, kt�re zastosowano w analizie MES. Zdefiniowano modele numeryczne sB
up�w zespolonych, podano wyniki numeryczne oraz okre[
lono parametry zadania maj
ce wpB
yw na rezultaty obliczeD
. Prezentowane w niniejszej pracy wyniki obliczeD
zostaB
y uzyskane z wyko- rzystaniem zasob�w komputerowych Centralnego O[
rodka Informatyki Politechniki Warszawskiej. 1 Prof. dr in|
., WydziaB
In|
ynierii L
dowej Politechniki Warszawskiej 2 Dr in|
., WydziaB
In|
ynierii L
dowej Politechniki Warszawskiej 272 2. Zastosowane modele konstytutywne stali i betonu W przypadku modelowania element�w stalowych sB
upa zastosowano relacje konstytutywne stali, kt�re uwzgl
dniaj
jej spr
|
yste i plastyczne wB
a[
ciwo[
ci mechaniczne. Zastosowano klasyczn
teori
plastyczno[
ci z tzw. wzmocnieniem izotropowym, poniewa|
rozpatrywane jest tylko obci
|
enie monotoniczne. W analizie nieliniowej MES, kt�ra dotyczy maB
ych & odksztaB
ceD
, przyj
to zaB
o|
enie o addytywnej dekompozycji pr
dko[
ci odksztaB
ceD
� na & & cz
[

spr
|
yst
�E (odwracaln
) i cz
[

plastyczn
�P (nieodwracaln
) [1, 2]. OdksztaB
cenia spr
|
yste s
opisane izotropowym prawem Hooke a, za[
pr
dko[
ci odksztaB
ceD
plastycznych definiuje tzw. stowarzyszone prawo pB
yni
cia. Prawo pB
yni
cia jest stowarzyszone z warunkiem plastyczno[
ci Hubera-Misesa (H-M). Izotropowa ewolucja warunku plastyczno[
ci H-M (r�wnomierne rozszerzanie warunku plastyczno[
ci w przestrzeni stanu napr
|
enia) jest zale|
na od intensywno[
ci odksztaB
ceD
plastycznych. Tzw. krzyw
wzmocnienia materiaB
u definiujemy zgodnie z aproksymacj
wynik�w standartowych test�w jednoosiowego rozci
gania stali, por. [2, 3]. W procesie czynnym stosowany jest model spr
|
ysto-plastyczny materiaB
u ze wzmocnieniem izotropowym, za[
w procesie biernym obowi
zuje prawo Hooke a (odci
|
enie nast
puje od stanu napr
|
enia zdefiniowanego przez aktualny warunek plastyczno[
ci). W przypadku modelowania betonu, przyj
to znacznie bardziej zB
o|
one relacje konstytutywne spr
|
ysto-plastyczno[
ci ni|
w przypadku stali, co oczywi[
cie wynika z odmiennych wB
a[
ciwo[
ci mechanicznych betonu w por�wnaniu z metalami. Stosowane obecnie relacje konstytutywne betonu uwzgl
dniaj
mi
dzy innymi spr
|
yste i plastyczne wB
a[
ciwo[
ci betonu oraz efekty zwi
zane zar�wno z tzw. degradacj
tych wB
asno[
ci jak i mechanik
p
kania. Szczeg�B
owa analiza, z zakresem stosowalno[
ci zB
o|
onych modeli konstytutywnych betonu wykracza poza ramy tego opracowania. Nale|
y zaznaczy
, |
e wyznaczenie parametr�w materiaB
owych nawet najprostszych modeli spr
|
ysto- plastyczno[
ci betonu wymaga znajomo[
ci wynik�w nie tylko standardowych test�w [
ciskania i rozci
gania betonu ale tak|
e co najmniej kilku wynik�w test�w dla zB
o|
onych stan�w napr
|
enia. Poniewa|
w rozpatrywanych tutaj sB
upach zespolonych zastosowano betony zwykB
e, to dodatkowe dane materiaB
owe (nie wynikaj
ce ze standardowych wynik�w badaD
betonu) przyj
to na podstawie jako[
ciowej analizy badaD
wg [3, 4, 5] i zaleceD
podanych w podr
cznikach programu ABAQUS [1, 2]. W nieliniowej analizie MES zaB
o|
ono nast
puj
cy model betonu: odksztaB
cenia spr
|
yste opisane s
prawem Hooke a, za[
odksztaB
cenia trwaB
e wynikaj
ze stowarzyszonego prawa pB
yni
cia. Powierzchnie plastyczno[
ci jak i powierzchnie graniczne betonu s
zB
o|
eniem dw�ch powierzchni zale|
nych od pierwszego i drugiego niezmiennika stanu napr
|
enia. W ten spos�b rozpatruje si
dwa podstawowe mechanizmy nieliniowej  pracy betonu, gdy|
pierwsza powierzchnia kontroluje mechanizm zarysowania betonu w stanie napr
|
enia z  dominuj
cymi napr
|
eniami rozci
gaj
cymi, za[
druga powierzchnia  kontroluje stany napr
|
eD
z  dominuj
cymi napr
|
eniami [
ciskaj
cymi. Powierzchnia plastyczno[
ci doznaje izotropowej ewolucji, kt�ra kontrolowana jest krzyw
napr
|
enie  odksztaB
cenie z testu jednoosiowego [
ciskania. W przypadku drugiej powierzchni, uwzgl
dnia si
tzw. mi
kni
cie odksztaB
ceniowe opisane krzyw
napr
|
enie  odksztaB
cenie z testu jednoosiowego rozci
gania. Zastosowany model betonu powinien by
ograniczony do sytuacji obci
|
eD
zbli|
onych do monotonicznych. Ze wzgl
du na posta
powierzchni granicznej, kt�ra nie jest zale|
na od trzeciego niezmiennika stanu napr
|
enia (por. [5, 6]), zakres stosowalno[
ci modelu powinien by
ograniczony tak|
e do przypadk�w, w kt�rych nie wyst
puj
bardzo du|
e hydrostatyczne napr
|
enia [
ciskaj
ce. Ograniczenia powy|
sze s
speB
nione w  273 analizowanych sB
upach. Nale|
y nadmieni
, |
e obie powierzchnie graniczne s
znacznie uproszczone w stosunku do powierzchni stosowanych w z B
o|
onych modelach plastyczno[
ci betonu (por. [5, 6]) i w stanach napr
|
enia zbli|
onych do punkt�w, w kt�rych jest  przeci
cie obu powierzchni, otrzymuje si
nieco zawy|
one warto[
ci wytrzymaB
o[
ci betonu. 3. Modele numeryczne i wyniki obliczeD
Analizowane sB
upy zespolone rozpatrywane s
jako ukB
ady wykonane z czterech element�w: cz
[
ci betonowej, stalowego dwuteownika, zbrojenia gB
�wnego i strzemion wykonanych z r�|
nych rodzaj�w stali. Cz
[

betonowa sB
upa jest modelowana o[
miow
zB
owymi, tr�jwymiarowymi elementami skoD
czonymi, z tzw. zredukowanym caB
kowaniem (C3D8R). W definicjach element�w, przez kt�re przechodzi zbrojenie gB
�wne lub strzemiona, zastosowano opcj
REBAR [1], kt�ra uwzgl
dnia wsp�B
prac
betonu i stali zbrojeniowej. Opcja REBAR definiuje poB
o|
enie i kierunek zbrojenia w elemencie oraz jego wB
a[
ciwo[
ci, tzn. pole przekroju i staB
e materiaB
owe stali. Dwuteownik stalowy modelowany jest czterow
zB
owymi elementami powB
okowymi ze zredukowanym caB
kowaniem, oznaczonymi przez S4R [1]. A

cznie w caB
ym modelu sB
upa zastosowano 14442 elementy skoD
czone. Liczba w
zB
�w wynosi 20944, za[
liczba stopni swobody jest r�wna 56760. W ka|
dym przypadku analizowanych sB
up�w stosowano identyczn
siatk
MES. OdwoB
uj
c si
do badaD
do[
wiadczalnych [7], rozpatrzono dwa rodzaje sB
up�w oznaczonych przez S1 i S4, r�|
ni
cych si
tylko sposobem przyB
o|
enia obci
|
enia. W pierwszym przypadku (sB
up S1) obci
|
enie przyB
o|
one jest do g�rnej, wyr�wnanej powierzchni sB
upa. Jako obci
|
enie przyj
to w modelu MES tzw. wymuszenie kinematyczne, realizowane przez zadanie przemieszczeD
wymuszonych, jednakowych dla cz
[
ci stalowej i betonowej. W drugim przypadku (sB
up S4), w do[
wiadczeniu obci
|
enie jest przyB
o|
one bezpo[
rednio do stalowego dwuteownika, kt�ry wystawaB
ok. 50 mm nad cz
[

betonow
. W modelu numerycznym przemieszczenia wymuszone zadano w w
zB
ach tworz
cych g�rne kraw
dzie stalowego dwuteownika. W obydwu przypadkach zdefiniowano warunki brzegowe w dolnej podstawie sB
up�w, wprowadzaj
c ograniczenia przemieszczeD
w kierunku osi sB
upa, zar�wno dla w
zB
�w odpowiadaj
cych cz
[
ci betonowej jak i stalowej. R�|
nice wyst
puj
ce w wariantach modeli MES stosowanych dla obydwu sB
up�w, wynikaj
gB
�wnie ze sposobu realizacji warunk�w podparcia i wsp�B
pracy dwuteownika z betonem. Z dotychczasowej analizy zagadnienia wynika, |
e spos�b modelowania warunk�w brzegowych jest jednym z gB
�wnych czynnik�w decyduj
cych o lokalnych uszkodzeniach sB
upa i warto[
ci globalnej siB
y niszcz
cej. Nale|
y zaznaczy
, |
e nie dysponujemy danymi do[
wiadczalnymi, na podstawie, kt�rych mo|
na zaproponowa
prawo tarcia pomi
dzy stal
dwuteownika i betonem, zar�wno w podstawie dolnej sB
upa jak i w podstawie g�rnej. Wymienione powy|
ej prawa tarcia nie mog
by
prostymi prawami liniowymi. Wobec powy|
szego, zdecydowano si
na uproszczon
analiz
zagadnienia, w kt�rej zaproponowano rozpatrywanie kilku wariant�w modeli numerycznych sB
upa stalowo-betonowego. Nale|
y zaznaczy
, |
e w eksperymentach [7], kt�re s
podstaw
do weryfikacji podanych obliczeD
nie byB
o w peB
ni mo|
liwe wyeliminowanie tarcia w podstawach sB
up�w. Z drugiej strony  praca sB
upa w konstrukcji (lub jako samodzielnego elementu konstrukcyjnego) mo|
e odbiega
od warunk�w, kt�re realizowane s
w laboratorium. Wobec powy|
szego wydaje si
, |
e racjonalne jest analizowanie numeryczne sytuacji z wyidealizowanymi warunkami brzegowymi, kt�re odpowiadaj
najbardziej i najmniej korzystnej pracy sB
upa. 274 B

B

B

B
Rys. 1. Z
cie|
ka r�wnowagi dla [
ciskanego sB
upa zespolonego S1. Por�wnanie r�|
nych wariant�w warunk�w brzegowych W poszczeg�lnych modelach przyj
to i|
nie ma powi
zania mi
dzy cz
[
ci
betonow
a ksztaB
townikiem stalowym lub wyst
puje ich peB
na wsp�B
praca. Por�wnanie krzywych zale|
no[
ci siB
y [
ciskaj
cej od caB
kowitego skr�cenia sB
upa S1 wykazaB
o niewielkie r�|
nice w globalnej odpowiedzi badanego elementu. Okre[
lenie utwierdzony (rys. 1) odnosi si
do modelu, w kt�rym w obu podstawach w
zB
y maj
caB
kowicie ograniczone przemieszczenia poprzeczne. NiepeB
ne powi
zanie oznacza niezale|
no[

mi
dzy odpowiednimi skB
adowymi przemieszczenia dla w
zB
�w nale|

cych do ksztaB
townika i cz
[
ci betonowej. Obliczenia byB
y wykonywane przy wykorzystaniu statycznej analizy, tzw. analizy Riksa [2]. W podej[
ciu tym, program automatycznie, przyrostowo zmienia wielko[

zdefiniowanego przez u|
ytkownika obci
|
enia, ka|
dorazowo poszukuj
c stanu r�wno- wagi odpowiadaj
cego aktualnemu poziomowi obci
|
eD
. Analiza Riksa jest wykorzysty- wana do zagadnieD
, w kt�rych wyst
puj
niestabilne poB
o|
enia r�wnowagi. W przepro- wadzonych obliczeniach, uwzgl
dniony zakres procesu obci
|
enia byB
limitowany przez problemy numeryczne wynikaj
ce z zarysowania cz
[
ci betonowej, w pobli|
u g�rnego koD
ca sB
upa (rys. 2). Na rys. 2-6 przedstawiono wybrane wyniki uzyskane dla ostatnich iteracji, czyli dla maksymalnego poziomu obci
|
eD
uwzgl
dnionych w obliczeniach. Na rys. 2 pokazano wykresy warstwicowe odksztaB
cenia spowodowanego zarysowaniem, oznaczonego w programie ABAQUS przez CKLE11. OdksztaB
cenie CKLE11 jest wyra|
one przez r�|
nic
mi
dzy maksymalnym odksztaB
ceniem rozci
gaj
cym a warto[
ci
odksztaB
cenia inicjuj
cego zarysowanie, wynikaj
c
z przyj
tej wytrzymaB
o[
ci betonu na jednoosiowe rozci
ganie. Tak wi
c odksztaB
cenie CKLE11 przyjmuje warto[
ci niezerowe tylko w obszarach potencjalnego zarysowania. W zastosowanym modelu betonu uwzgl
dniono tzw. zjawisko tension stiffening [5, 6], polegaj
ce na ci
gB
ym spadku napr
|
enia w kierunku prostopadB
ym do powstaj
cej rysy. OdksztaB
cenia CKLE11 (rys. 2) wyst
puj
w g�rnych naro|
ach sB
upa, w  275 Rys. 2. Wykresy warstwicowe odksztaB
ceD
CKLE11 spowodowanych zarysowaniem (S4) miejscach wyst
powania koncentracji napr
|
eD
spowodowanych przyj
tymi warunkami brzegowymi. Lokalizacja obszar�w zniszczenia cz
[
ci betonowej, oparta na rozkB
adzie odksztaB
ceD
CKLE11, pozostaje w zgodzie z obserwacjami poczynionymi w czasie test�w laboratoryjnych [7]. Koncentracje napr
|
eD
w cz
[
ci stalowej wywoB
ane warunkami brzegowymi przedstawia rys. 3. Pokazano tutaj kontury napr
|
eD
zast
pczych Hubera-Misesa w g�rnej cz
[
ci sB
upa S4. W miejscu przyB
o|
enia obci
|
enia widoczny jest spadek napr
|
eD
zast
pczych spowodowany odci
|
eniem, kt�re towarzyszy znacznym odksztaB
ceniom plastycznym. W pozostaB
ej cz
[
ci ksztaB
townika wyst
puje jednorodny stan napr
|
enia. Rys. 3. Kontury napr
|
enia zast
pczego Hubera-Misesa w g�rnej cz
[
ci dwuteownika w sB
upie S4. W odr�|
nieniu od cz
[
ci stalowej (ksztaB
townika dwuteowego), w cz
[
ci betonowej panuje zB
o|
ony stan napr
|
enia. Na rys. 4 pokazano kontury maksymalnych gB
�wnych napr
|
eD
na powierzchniach cz
[
ci betonowej sB
upa. Pojawiaj
ce si
maksymalne napr
|
enia rozci
gaj
ce wynosz
1.6 MPa. Rys. 4 pokazuje, |
e w caB
ej betonowej cz
[
ci sB
upa wyst
puje faktycznie zB
o|
ony stan napr
|
enia, odbiegaj
cy od stanu jednoosiowego [
ciskania. Kontury napr
|
enia dodatniego wskazuj
obszary wyst
powania dalszego zarysowania. Z rozkB
adu napr
|
eD
przedstawionego na rys. 4 wynika, |
e zr�|
nicowanie napr
|
eD
w cz
[
ci betonowej jest mi
dzy innymi efektem oddziaB
ywania strzemion. 276 Rys. 4. Wykresy warstwicowe maksymalnych napr
|
eD
gB
�wnych (sB
up S4) Rys. 5. Kontury maksymalnego napr
|
enia gB
�wnego w przekroju [
rodkowym sB
upa S4 Aby pokaza
jaki wpB
yw na rozkB
ad napr
|
eD
ma zespolenie mi
dzy ksztaB
townikiem a cz
[
ci
betonow
, na rys. 5 przedstawiono rozkB
ad maksymalnych napr
|
eD
gB
�wnych w przekroju [
rodkowym sB
upa S4. Pogrubion
lini
pokazano poB
o|
enie ksztaB
townika w przekroju sB
upa. Z rys. 5 wida
, |
e ekstremalne warto[
ci napr
|
eD
rozci
gaj
cych w betonie wyst
puj
w bezpo[
rednim s
siedztwie stalowego ksztaB
townika. Na rys. 6 i 7 pokazano kontury napr
|
eD
normalnych S22 i S33, kt�re wskazuj
, |
e najwi
ksze rozci
ganie w betonie wyst
puje w otoczeniu stalowego dwuteownika, w kierunkach r�wnolegB
ych do powierzchni [
rodkowych [
rodnika i p�B
ek. Na rys. 5-7 zastosowano indywidualn
skal
zaciemnienia do pokazania r�|
nic mi
dzy napr
|
eniami.  277 Rys. 6. Kontury napr
|
enia normalnego �22 w przekroju [
rodkowym sB
upa S4 Rys. 7. Kontury napr
|
enia normalnego �33 w przekroju [
rodkowym sB
upa S4 4. Wnioski W analizowanych sB
upach, w cz
[
ci betonowej wyst
puje zB
o|
ony stan napr
|
enia, kt�ry znacznie r�|
ni si
od jednoosiowego [
ciskania. Fakt ten jest gB
�wn
przyczyn
ograniczenia warto[
ci maksymalnej wypadkowej siB
y, kt�ra okre[
la globaln
no[
no[

sB
upa. Niejedno- rodny stan napr
|
enia wynika gB
�wnie z zastosowania konstrukcji zespolonej (beton, rdzeD
stalowy, zbrojenie gB
�wne i strzemiona). Zniszczenie wyst
puje lokalnie i zale|
ne jest gB
�wnie od sposobu realizacji warunk�w podparcia i obci
|
enia sB
upa. W badaniach do[
wiadczalnych nie realizowano symetrycznych warunk�w brzegowych na dolnej i g�rnej podstawie sB
upa. Na g�rze sB
upa zastosowano 278 podkB
adk
z twardej pB
yty pil[
niowej, kt�ra ogranicza odksztaB
cenia poprzeczne. Powoduje to dodatkowe (w stosunku do dolnej podstawy sB
upa) napr
|
enia rozci
gaj
ce w betonie, w pB
aszczyz
nie prostopadB
ej do osi sB
upa i w konsekwencji zarysowanie betonu. Dodatkow
przyczyn
niesymetrycznego zniszczenia sB
upa mo|
e by
spos�b betonowania oraz niedokB
adno[
ci w przygotowaniu g�rnej powierzchni sB
upa. W przekrojach odlegB
ych od podstawy i gB
owicy nie jest wykorzystana zar�wno no[
no[

cz
[
ci stalowej jak i betonowej. Uplastycznienie rdzenia stalowego wyst
piB
o tylko w maB
ej strefie g�rnej cz
[
ci sB
upa. Zwi
kszenie przyczepno[
ci pomi
dzy dwuteownikiem stalowym i betonem w kierunku osi sB
upa nie zmienia w spos�b istotny jego no[
no[
ci. Literatura [1] ABAQUS/Standard User s Manual, Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc, Pawtucket, 1998, Version 5.8. [2] ABAQUS Theory manual, Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., Pawtucket, 1998, Version 5.8. [3] CHEN W.-F., Plasticity in reinforced concrete, McGraw-Hill, New York, 1982. [4] KUPFER H.B., GERSTLE K.H.: Behavior of concrete under biaxial stresses, ASCE J. Eng. Mech. Div., 1973, 99, s. 853-866. [5] KUPFER H., HILSDORF H.K., RUSCH H.: Behavior of concrete under biaxial stresses, ACI J., 1969, 66, s. 656-666. [6] WOJEW� DZKI W., JEMIOA
O S., LEWIC
SKI P.M., SZWED A., O relacjach konsty- tutywnych modeluj
cych wB
asno[
ci mechaniczne betonu, Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej, Budownictwo, z. 128, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1995. [7] {
�A
TOWSKI W., SZMIGIERA E., Praca [
ciskanych element�w zespolonych stalowo- betonowych na podstawie badaD
i w [
wietle zaleceD
normowych, XLVII Konferencja Naukowa KIL i W PAN i KN PZITB, Krynica 2001, Tom 3, s. 155-162. NONLINEAR FE ANALYSIS OF COMPOSITE STEEL-CONCRETE COLUMNS USING PROGRAM ABAQUS Summary A nonlinear FE analysis was applied to study the response of the composite steel-concrete columns under compression. Detailed models were developed using 3D solid elements with REBAR option standing for reinforced concrete and shell elements standing for I steel column. A parametric study was conducted with respect to the concrete-steel interaction and the boundary conditions. The concrete-steel interaction had negligible effect on the global response of the specimens. Obtained results showed that the load capacity was limited by the local cracking in the concrete part of the column head. The cracking was due to the additional constrains caused by the friction in the top contact surface. Calculated maximum stresses in the middle part of the column are much lower than the ultimate strengths for both, concrete and steel.