5633244622

XI. WIELOMIANY

1. SPOSOBY PRZEDSTAWIANIA WIELOMIANÓW

POSTAĆ	WZÓR + UWAGI
OGÓLNA (naturalna) HORNERA	A«(x) = an+ an ix?^11 + ... + ci2X^2 + ajx+ ao dla att # 0 a ne N Bm(x) = bmxf^n + bm-ix^m l + ... + b*x^2 + bjx+ bo dla bm #0 a jug N a,, bi - współczynniki wielomianu (/'= 1, 2, 3. ...), ao. bo - wyrazy wolne, n. m - stopień wielomianu; Najczęściej spotykana postać wielomianu. A(x) - (... (OnX + On-i)’X + a1Xri) • x + ... )«x + ai)* x + ao - x • (x • (x •... (x • [x • an + an_i) + an.2) + ... + a2) + a^) + ao Wygodna w obliczeniach - minimalna liczba mnożeń potrzebnych do znalezienia wartości A(x), np. bN* - 4x^3 + 3x+ 2 = x • (x • (x • (x *5 -4) + 0) +3 ) + 2
ILOCZYNOWA (czynnikowa)	A(pĆ) - an -(x - Xj) *(X - X2) *... ’{x - Xn) Xj. X2.....Xn — pierwiastki wielonu, (x — xj). (x — X2).....(x — xJl) - czynniki Każdy wielomian A(x) * 0 jest iloczynem czynników stopniu < 2. Postać wygodna przy wyznaczaniu pierwiastków z. równania: A(x) = 0.

2. DEFINICJE PODSTAWOWE

POJĘCIE	WZÓR + OPIS
Równanie wielomianowe	A(x) = 0 <£> a^pć^1 + an 1x^n'^1 + ... + aaX^3 + a1x + a0 = 0
Stopień wielomianu	st^4/t(jc) = n dla On # 0. n G M
Stopień sumy i iloczynu wielomianów	St.An(x) > St.Bm(x) <3=t> st. [Ai{x) + Bm(X)] < St.An(x) Przy dodawaniu wielomianów pewne współczynniki mogą ulec redukcji. st.[Ai(x) • Bm(x)] = st.Ai(x) + st.Bm(x) = n + m
Równość wielomianów	A(x) ■ B(x) dla xe R [ st.A(x) = st JB(x) a at - b, ] A(x) i B(x) są równe (identyczne), wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe (takie same) wartości współczynników przy odpowiednich niewiadomych.
Pierwiastek wielomianu	A (r) =0 0=t> r = pierwiastek (mieisce zerowe) wielomianu A(x) Jeżeli Ai(jc) ma n pierwiastków, to Ai(x) = an(x — rj) *(x — r2) •... *(x - vn)
Pierwiastek wielokrotny	[ (x - r)^m | A(x) ] a [ (x - r)^m+11 A(x) ] Jeżeli rjest pierwiastkiem m-krotnym wielomianu A(x), to wielomian A(x) jest podzieliły przez. (x - r)^m i nie jest podzieliły przez. (x - r)^m+1.
Twierdzenie Bezo uta	[ (x - r) | Ai (x) ] <s> [At (r) = 0 a Ai (x) = (x- r) Bn -i (x) ] podzielił? - tzn. dzieli sie bez reszty: r - pierwiastek równania A(x) = 0
Pierwiastki wymierne wielomianu	^(r) = 0 a r = —— e W a aŁe Z =>[DL\a0 a DM\an] ^UM
Własności	(1)    [ (x-r) | Aix) ] •=> [A(x)= (x-r)• Q(x) a Air) = R(r) = 0] (2)    [ (x-r) \A(x) ] ^ [A(x) = (x- r)• Q(x) +R(x) a A(r) = R(r) ^ 0 ] (3)    [ P(x) | A(x) ] «=> [ A(x) = P(x). Q(x) a R(x) = 0 ] (4)    [P(x) ł A(x) ] •=> [ A(x) = P(x> Q(.x) + R(x) a R(x) * 0 ]
Suma i iloczyn pierwiastków	CIq Xi + *2 + *3 + ... + Xn =--, x1 • X2 ■ *3 • ... ■ xn = (-1)"-- ^an ^an

©Copyright by Ewa Kędziorczyk    -5I -    www.niatematyka.sosnowiec.pl