6830718824

Wl/2

a)    bisekcji: E=l; p = 1. K = 1.

b)    siecznych : E = ^{1 +} ^ a 1.62 ; p = ^{1 +} ^ , K= l,

2 2

i

c)    stycznych : E = 2 ^1+Kl ; p = 2, K = l+ K

i

Z omówionych trzech metod najniższy wskaźnik efektywności ma metoda bisekcji (zbieżność tylko liniowa). Porównanie dw'óch pozostałych metod zależy od kosztu obliczania pochodnej w stosunku do kosztu obliczania funkcji. Dla

Ki < r =

str 4

-1 (r = 0.44)

loa

bardziej efektywna jest metoda stycznych, natomiast dla K_x > r - metoda siecznych.

Normy wektorów

W wielu zastosowaniach fizyki i matematyki, szczególnie przy przeprowadzaniu obliczeń numeiycznych, wygodnie jest wprowadzić pewne pojęcie, analogiczne do znanej z geometrii analitycznej długości wektora, a mianowicie ltormy i rektora.

W przestrzeni R" . której elementami są wektory x = [ x,. x,.....x_n]^T. można wprowadzić wiele norm

wektorów, pizy czym w obliczeniach numerycznych najczęściej są stosowane następujące nonny

II x ||j = |xj| + |x,| + .... +|xj norma "Manhattan"

II x ||, = (|Xj|² + |x,|² + .... +|xj²)^1/2 nonna diuga

|| x ||_M =inax{ |X[|, |x₂|......|xj } nonna nieskończoność

Rozw iązywanie układów równań nieliniowych

Rozważamy układ n równań liniowych z n niewiadomymi X].....,x„

f,(x_I,.... ,x_n) = 0, i = 1,2.....n

któiy można zapisać w postaci wektorowej

F(x) = 0

gdzie x = (Xj,.....x₁₁) oraz F (x) = [f, (x),f ₂(x),... ,f_n(x)]^T

Podobnie, jak w przypadku równań skalarnych . układ taki rozwiązujemy metodami iteracyjnymi twoiząc ciąg kolejnych przybliżeń wektorowych

X (k) = ( Kjfr)......)

bieżnych do wektora rozwiązań a = (a,....,    ).