9491406788

7. PRZESTRZEŃ LINIOWA (WEKTOROWA)

Przestrzeń liniowa (wektorowa) - jest to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Są one naturalnym uogólnieniem zbioru wektorów na prostej lub płaszczyźnie. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Pojęcia przestrzeni liniowych i przestrzeni wektorowych są synonimami

Przestrzenią liniową (wektorową) V nad ciałem K nazywamy system algebraiczny złożony z dwóch zbiorów (K. V) z dwoma określonymi działaniami dwuargumentowymi (+, •):

(I)    dodawaniem wewnętrznym elementów grupy a helowej (iwektorów) tej przestrzeni

( + :VxV —V) <=> ( A (a + b) 6 V )    oraz

a,he V

(II)    mnożeniem zewnętrznym (z lewej strony) przez elementy ustalonego ciała (skalary)

( • : KxV—> V ) o ( A *(aa) € V ) <=> ( A (a» a) € V ) ;

aekae V    ae K. ae V

spełniającymi 4 warunki (aksjomaty prz.estrz.eni liniowej):

(1)	A	A	a*(p*a) = (a*p)*a
	a.pe K	ae V
(2)	A	A	a*(a + b) = <x»a + a*b
	ae k a.be V
(3)	A	A	(a + p)*a = a*a+p*a
	a,pe K	ae V
(4)	V	A	a • 1 =a

Ig V ae V

gdzie:

(K, +. \ 0,1)    - ciało K z elementami nazywanymi skalarnymi, np.: ct. (3,... e K,

(V. +. 0)    - grupa abełowa V z elementami nazywanymi wektorami, np. a, b, ... c V.

(V. +. 0; K, +, \ 0.1. •) - przestrzeń wektorowa V nad ciałem K. gdzie •: KxV=> V.

A. P. 9 dp. f. ?.$. s t r z e ń l i n i o w a (w ę k t o rowa)

Podprzestrzenią liniową V, przestrzeni V nazywamy niepustą strukturę (V|, +. 0: K. +. \ 0. 1. •).

spełniającą następujące warunki:    (1)    /\    /\ a*aG\j a (2)    (a + b)eVi,

ae K a.€ V,    a,be V,

lub prościej:    (1) i (2)    /\    /\ a • a + b • (3 g Vi dla V| ź 0 a Vjc V.

a, p e K a. b e V,

gdzie:

(K, +. \0.1)    - ciało K z elementami nazywanymi skalarnymi, np.: a. p, ... € K,

(V.+. 0)    - grupa abelowa V z elementami nazywanymi wektorami, np. a, b. ... € V.

(V, +. 0: K, +. *. 0.1. •) - przestrzeń wektorowa V nad ciałem K. gdzie •: K x V => V.

(Vi. +. 0: K. +, \ 0.1. •) - przestrzeń wektorowa Vi nad ciałem K. gdzie •: K X V| => Vi.

(V i, +, 0: K, +, \ 0,1, •) - pod przestrzeń wektorowa Vi przestrzeni V.

Łatwo sprawdzić, ze struktura (V|, +, 0: K, +. \ 0.1.*) jest przestrzenią wektorową na ciałek K.

w w w. /na tein a tyka.s osnowiee.pl

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk    - 229 -