1098873057

4. Ustalona liczba rzeczywista q > 1 jest użyta do określenia nieskończonego ciągu węzłów (uOiez: u* = q^l dla każdego i. Rozważamy funkcje B-sklejane NJ¹ (stopnia n) określone dla takiego ciągu.

a)    Udowodnij, że N[^l+1(qx) = N|^l(x) dla każdego i £ Z oraz x € R.

b)    Oblicz wartości wszystkich funkcji N. w punkcie x = uo, jeśli q = 2.

c)    Niech N > 6 i niech s oznacza funkcję sklejaną trzeciego stopnia z węzłami Ui = 2^l dla i = 0,..., N. Przedstaw funkcję s w bazie złożonej z funkcji B-sklejanych określonych dla tych węzłów i napisz w postaci rozwiniętej równanie (z niewiadomymi współczynnikami funkcji s w tej bazie) opisujące warunek interpolacyjny s(ui) = a, dla i G {3,..., N — 3}; liczba a, jest dema.

Wskazówka. Możesz skorzystać z formuły Mansfielda-de Boora-Coxa:

N?(x) =

Nf(*) =

J 1 dla x G [ttijUi+i),

| 0 w przeciwnym razie,

^X-Ul Nr¹ (*) + ^Ul+n+'~^X Nr,' (x) dla n > 0.

Ui+n-Ui    Ul+n+1 -Ui₊, 5. Całkę

I(f) = | f(x) dx

przybliżamy kwadraturą interpolacyjną Qa(f)=Aof(0)+A,f(a), dla pewnego a G [—1,1].

a)    Znajdź współczynniki Ao, Ai tej kwadratury (w zależności od węzła a).

b)    Podaj oszacowanie błędu kwadratury Q_q dla funkcji podcałkowej f € C²[—1,1].

c)    Czy można wybrać węzeł a tak, aby otrzymać kwadraturę rzędu większego niż 2? Odpowiedź uzasadnij.