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186 Tr»v*ux cie Tlićorie d«« No ni brr*

On peut dono ćnoncer l'hypoth6se qu’il oxiste une infmitó de nombre* F_u eompo*6s. On a menie enomY rhypothfae plus forte: les nombre* F_m premier* Kont en nombre fini. Ce sont peut<toe sculement ceni que connaissait Fermat, a savoir len nombre* F_u ponr w < 4.

Le plus petit nombre F_m dont nous ne sachions pas s’il ott premier ou non Mt F_u. Łe plus grand nombre F„ compoti connu est F_m dont le plus petit dieiscur premier est le nombre 27*2^4-+l (voir [I I]).

Ia> fait que le nombre F_u est comi>o*6 met en dńfaut 1’hypothtoe que tous les nombres de la suitę infinie

2+1, 2*+l, 2**+!, 2^+1, 2**+l, ...

sont premiera, puiwjuc F_u est le cinqui£me terme de rette suitę.

Quant aux nombres de Mersennc J/, ■■ 2"—1 on a ńnonoń riiypothe*e que si le nombre est premier, le nombre Mest aussi premier. Or, d’apr6* un ealeul qui a 6tó fait en 1953 par I). J. Wheeler, le nombre Jf*,, “ 2^MM—1 (qui a 2466 ehiffres) est composl, hien que le nombre

soit premier.

On a enoore ćnoncć 1’hypothfese que les nombres q_n (» = 0,1,2,...), oii q_t = 2 et q_kĄ._l = 2**—1 pour 4 » 0,1,2,..., sont tous premiera. Cela est vrai pour 0 < n < 4. Or, le nombre q_% a plus de 10*⁷ ehiffres et nous ne *avons pas s^łU est premier ou non.

En 1742 Ch. Gnid bach a 6nonc6 l’hypothfae que tout nombre pair > 4 est la somme de denx nombres premier* impaira. On peut ćnoncer l’hypoth6se O un peu plus forte: tout nombre pair >6 est la somme de deux nombres premiera distinets. On peut dlmontrer que l’hypoth£*e G 6quivaut & 1’hypotłitae que tout nombre naturel >17 est la somme dc trois nombres premiera distinets. Or, de riiypothese de Goldbaeh A. Schiuzel a dóduit que tout nombre inipair >17 est la somme de trois nombres premiera distinets. En 1937 J. Ylnogradoff a dćmontrć quc tout nombre impair suffisamment grand est la somme de trois nombres premiera impaira. Quant a l’hypothł«e G, 8. Gołaszewski et II. leszczyński l’ont v6rifińe pour tous les nombres pa^;ra < 50000.

On a aussi Inoncd l’hypoth6se que le nombre des dleompositions d’un nombre pair 2n en une somme de denx nombres premier* tend vers 1’infini avec » (ef. [lu], Conjeeture A). U est probable que les nombres pairs > 188 ont plus de 10 dćcompositions et que les nombres pair* > 4571 donnent plus de 100 dńeoinpositions.

Nous dńduirons de 1'hypothtae G quelques cons6quences.

P,. Tout nombre impair est de la formę n — q>(n), oii n est un nombre naturel.

Oćmonstration de 1'implieation G-*P,. On a 1 — 2-ę>(2), 3 = 9—?(9), 5 = 25—?(25). Si m est un nombre impair > 5 on a m +1 >6 et di¹ G rćsulte 1’eiistence des nombres promieni distinets p et 7 tcls quo m+l-p + ę ct on u pq-<p(pq) — pq-(p—l)(q—l) — p4-ę-l - «•. dono m = n — ?(n) pour »i = pq. I/iraplication G-»P, so trouve ainsi dćmontrfe.

P,. Tout nombre impair m>7 est de la formę <j(n)—u, 06 n est un nombre impair > m.

Dómonstration de 1’implication G-»P_t. Si m est un nombre impair > 7, il rćsulte de G qu’il existe des nombres ]>remiers distinets /> et q<p tels que m -\ = p + q, et on a o(pq)— pq • (p + l)(q+l)~pq •=P + 9 + l = n». Comme m est impair > 7, les nombres p et 7 sont impairs, 7 > 3, dono P7 > 3j» ■= 2p-+ p >p-f 7 + 1 - m et en posant n = pq ou obtient un nombre impair n>m tel que m = o{n)—n. L’in»plieation Q-¹P, est ainsi dćmontrće.

P. ErdOs a pość la questiou s’il existe une infinitó de nombres natu-rels qui ne sont pas termos de la suitę o(n)—1». (Tels sont par exemple les nombres 2 et 5). Une question analogie peut 4tre pos<?¹e poiir la suitę »—9(n). (Los quatre nombres naturels les plus petits qui ne wint pas termos de eette suitę sont 10, 20, 31 et 50). ¹

P_ŁI. II eriste des suites aussi longues que Von reul

U) »» /(")> //(¹), ///(»)» ...» o¹ /(») — •(•)— " .

dont le dern i er terme est 1.

Dómonstration de 1’implication P₈-¹P_M. D’apróx P, pour tout nombre impair m>7 il existc un nombre impair n 7(m) > m, tel quo /(n) «= m. Pour tout n impair > 7 la suitę infinic de nombres naturels », g(n), gg{n), ... est dono croissante. k ćtant un nombre na-turel, posons n <m p¹(ll). Nous obtenons ainsi la suitę

» = y¹(«),    ■¹(²), •••» /¹(»)-ii, /²‘(h)-i

(puisque/(ll) ■■ o(ll)—11 ¹» 1) qui a Jt+2 termos dont le demier est «= 1. L’implieation P_g-¹P_t| se trouve ainsi dćmontrće.

P_u. II existe un infiniti de nombres naturels n tels que la suitę infinie (1) est ptriodique.

Dćinonstration de 1’implication P_g-¹P_g#ł. Soit g(m) la (onction dófinie dans la dćmonstration dc 1’implication P,-¹P_Ł, et jH»sons pour k naturels n « g¹(25). Nous obtiendrons la suitę

* = 0¹(25), /(«)-y¹-^,(25), .... /¹(») = 25, /¹♦<(«) =6 jKłur i — 1,2,... (puisque /(25) = 6 et /(6) = 6).

1

[Voir I¹. Frdds, Cbrr di¹ ZakUn der Form «(■)-» umd n-f (•), Kłem. Math.

2

28 (1973). p. 83-86).