1673068241

ZBIGNIEW BLOCKI

Liczbę

Log2 := log \z\ + iArgz nazywamy logarytmem głównym z.

Przy pomocy logarytmu możemy zdefiniować potęgi zespolone: dla z € C*, w G C kładziemy

Z^W — _e^W l°g ².

Zauważmy, że

z^l/ⁿ = _en(¹°gl^2:l^+iar8¹) =

czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka.

] Ćwiczenie | Obliczyć iⁱ.

Przypomnijmy, że

e^llfi = cos (p + i sin (p, <p G K.

Zespolone funkcje trygonometryczne można łatwo wyprowadzić ze wzorów Eulera: e*¹ = cos z + i sin z, e~^%z = cos z — i sin z.

Stąd

cos 2 sin 2

e*¹ + e ^tz 2

e^tz — e ^tz

2 i

Mamy również

cosh z := cos(Ż2) = -sinh2: := —isin(*2:) = -

| Ćwiczenie] Pokazać, że arccos z = —i log (z + Vz¹ — 1).

Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprzężenie: z := x — iy. Natychmiast otrzymujemy, że

\z\¹ = zź.

| Ćwiczenie]Pokazać, że (zw) = zw oraz e¹ = e¹.

1

Różniczkowanie funkcji zespolonych

Oczywiście każde odwzorowanie liniowe C —► C jest postaci (2.1)    CB z i—► az € C

dla pewnego a € C. Ponieważ C = M¹, możemy również rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - będą one postaci

C = R¹ B z i—> Az B R¹ = C,