1673068242

FUNKCJE ANALITYCZNE

gdzie

(2.2)    ^⁼(s <)' ^P,9,S,<eR-

Takie odwzorowania C —» C będziemy nazywać M-liniowymi, natomiast odwzorowania postaci (2.1) C-liniowymi. Można łatwo sprawdzić, że każde odwzorowanie C-liniowe jest M-liniowe, przy czym A jest postaci gdzie a = a + ij3. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = —s w (2.2) (| Ćwiczenie |).

Niech / będzie funkcją o wartościach zespolonych określoną w pewnym otoczeniu punktu Zo € C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, że / jest C-różniczkowalna w punkcie zq, jeżeli istnieje granica

lim

2—20

f(z) - /(zo) z-zo

e C.

Granicę tę nazywamy pochodną zespoloną funkcji / w Zq i oznaczamy przez f (zq). Jest oczywiste, że każda funkcja C-różniczkowalna w zq jest w ciągła w zq. W podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych własności funkcji C-różniczkowalnych.

Propozycja 2.1. Jeżeli funkcje f,g są C-różniczkowalne w zq, to funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g(zo) ^ 0) są C-różniczkowalne w zq oraz w zq mamy

(S±g)' = f'±g', (fgY = f'g + fg', (£) = ^fs _gJ⁹' ■    □

Propozycja 2.2. Jeżeli f jest C-różniczkowalna w zq, zaś g jest C-różniczkowalna ^w f(^zo), to g o f jest C-różniczkowalna w zq oraz

(g ° f)'M = g'(f(^zo)) f'(^z o)-    ^a

Przypomnijmy, że funkcja zespolona / jest różniczkowalna w zq w klasycznym sensie (będziemy wtedy mówić, że jest ona M-różniczkowalna). jeżeli istnieje odwzorowanie M-liniowe A takie, że

_lim \f(^z) ~ f(zo) ~ M^z ~ ^zo)\ ₌ Q

2—20    \z - z₀\

Jeżeli / = u + iv, gdzie u,v są funkcjami rzeczywistymi, to

_{A =} ( Mi(zo) Uy(zo) \

Y^^o) Vy(Z₀) )