2500335320

3.    problemy zamknięto-otwarte (znana jest hipoteza, ale nieznana jest metoda weryfikacji);

4.    problemy zamknięto-zamknięte (znane są hipotezy i metody ich weryfikacji).

Ten klasyczny, prosty i atrakcyjnie wyglądający schemat ma tylko relatywne odniesienie do zadań OM. Wśród zadań OM da się znaleźć problemy należące do każdego z tych typów, ale - i to jest ważne - dla jednego ucznia problem może być zamknięto-otwarty, dla innego zamknięto-zamknięty. Zadanie o nierównościach są zamknięto-zamknięte dla uczniów pewnych szkół w kraju, a zamknięto-otwarte dla większości zawodników. Rzadko występujące w OM problemy otwarte należą - w klasyfikacji Kozieleckiego - do problemów otwarto-zamkniętych. Wśród analizowanych przez mnie zadań występują tylko zadania zamknięto-otwarte (np. 3.3.57, 5.3.58) i zamknięto-zamknięte (np. 3.2.57, 5.2.58).

Zofia Krygowska w pracy Zarys dydaktyki matematyki ([72]) omawia tradycyjną klasyfikację zadań matematycznych:

1.    zadanie rachunkowe (z charakterystycznymi poleceniami: oblicz, rozwiąż);

2.    zadania na dowodzenie (z poleceniami: udowodnij, wykaż);

3.    zadania konstrukcyjne (polecenie: skonstruuj).

Inny, tradycyjny podział, to wyróżnienie ze względu na dział matematyki (zadania arytmetyczne, algebraiczne, geometryczne). Ten podział nie jest oczywiście sztywny, gdyż rozwiązanie np. zadania geometrycznego może opierać się na rachunku algebraicznym; można jednakże przypisywać kategorię zależną od treści zadania, a nie od metody rozwiązania.

Zofia Krygowska ([72]) podaje także podział następujący:

1.    zadanie - ćwiczenie - to zadanie na zastosowanie odpowiedniego wzoru, nie wymagające żadnego aktu twórczego;

2.    zadanie - zwykłe zastosowanie teorii - to zadanie nie wymagające szczególnej pomysłowości, w którym kolejne czynności nasuwają się w sposób naturalny; uczeń zna w takiej sytuacji aparat matematyczny niezbędny do rozwiązania zadania;

3.    zadanie - problem - to zadanie wymagające aktu twórczego, w którym metoda rozwiązania nie narzuca się w sposób naturalny i uczeń musi ją odkryć sam.

W tym ujęciu wszystkie zadania olimpijskie należą do kategorii 3). Przy pewnej dozie tolerancji zadania w starszych olimpiadach dziś można by zakwalifikować do typu 2). Takim zadaniem jest zadanie 1 z pierwszej OM (treść w rozdziale 1.2.1).

Z kolei George Polya ([105]) dzieli zadania na dwa typy:

1.    zadania typu znaleźć (odpowiadające w klasyfikacji Kozieleckiego zadaniom otwarto-otwartym i otwarto-zamkniętym),

2.    zadania typu udowodnić (odpowiadające w klasyfikacji Kozieleckiego zadaniom zamknięto-otwartym i zamknięto-zamkniętym).

Celem zadań typu znaleźć jest znalezienie pewnego obiektu, niewiadomej zadania. Zaś celem zadania typu udowodnić jest wykazanie w sposób niezawodny, że pewne twierdzenie jest prawdziwe.

Źródeł takiego podziału zadań można doszukiwać się w podziale twierdzeń, jakie występowały w Elementach Euklidesa: twierdzenia typu problema, które stawiają sobie za cel konstrukcję pewnego obiektu oraz twierdzenia typu theorema, w których należy ustalić pewne fakty przez

7