3813100775

3.2. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku

Znajdziemy obecnie równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku, tj. której kierunek propagacji tworzy kąty (a, /?,7) odpowiednio z osiami OX, OY, OZ kartezjanskiego układu współrzędnych.

Niechaj źródłem fali będzie wykonująca ruch harmoniczny prosty u₀ = A cos (w • t + a₀) płaszczyzna V₀ przechodząca przez początek układu współrzędnych. Rozpatrzmy płaską powierzchnię V\ stałej fazy odległą od źródła o d. Drgania punktów tej płaszczyzny są opóźnione w czasie o r = l/c w stosunku do drgań punktów płaszczyzny 'Po- Zatem zależność od czasu wychylenia tych punktów opisuje równanie

u = ^4cos[w(t — d/c) + ao] = ^4cos(u; -t — k ■ l + ao).

Wyrazimy teraz odległość l za pomocą współrzędnych punktów należących do płaszczyzny V\. Wprowadźmy w tym celu jednostkowy wektor ń, który jest prostopadły do płaszczyzny V\. Z rysunku widać, że iloczyn skalarny wektora wodzącego r dowolnego punktu płaszczyzny V\ oraz wektora ń wynosi

r • ń = rcos(0) = l.

Po podstawieniu tego wyniku do przedostatniego wyrażenia otrzymujemy

u = Acos(u • t — k • ń • r + ao).    (23)

27r

Wektor ń • k ma długość równą —. Jest więc liczbą falową k i jest jednocześnie prostopadły do płaszczyzny stałej fazy V\. Dlatego nazywany jest wektorem falowym. Zatem

u(r, t) = A cos(w ■ t — k • r + ao)    (24)

opisuje zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu odległego od początku układu o r i należącego do płaszczyzny V\ w chwili czasu t. Jest więc poszukiwanym przez nas równaniem fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku wyznaczonym przez wektor falowy k. Ponieważ iloczyn skalarny k • r = k_xx + k_yy + k_zz, więc

u(r, t) — Acos(o; • t — k_xx — k_vy — k_zz + ao),    (25)

gdzie

k_x = cos(cv), k_y = —^- cos(/J), k_z =    cos(7).

Relacja (25) określa zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu o współrzędnych (rr, y, z) należącego do płaszczyzny V\ w chwili czasu t.

Zauważmy, że dla k_x = k, k_y = k_z = 0 otrzymane wyniki opisują propagację fali płaskiej wzdłuż osi OX (patrz równanie (13) w poprzednim rozdziale).

Równanie fali często zapisujemy w postaci zespolonej

u — 9? [A exp[i(u; • t — k • r + ao)]],    (26)

symbol 3? oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej A exp[*(u> • t — k • r -f ao)] = A cos(u; • t — k • r + ao) + i ■ A ■ sin(w • t — k • r + ao), gdzie skorzystano z wzoru Eulera

exp(żz) = cos(z) + *sin(z).    (27)

Jeśli wprowadzić zespoloną amplitudę A = A ■ exp(iao), to równanie fali płskiej można zapisać w postaci

u = [y4exp[i(cj • t - k ■ r)]j.    (28)

12