4292417164

•    środek ciężkości ma współrzędne

•    moment bezwładności:

-    względem płaszczyzny OYZ to x²f(x, y, z)dS

-    względem płaszczyzny OXZ to JJ y²f(x,y, z)dS

-    względem płaszczyzny OXY to JJ z²f(x,y,z)dS

-    względem osi OX to JJ(y² + z²)f(x,y,z)dS

-    względem osi OY to JJ(x² + z²)f(x,y, z)dS

-    względem osi OZ to JJ^(x² + y²)f(x,y, z)dS

-    względem punktu 0(0,0,0) to JJ^(x²+ y² + z²)f(x,y,z)dS

Całka powierzchniowa skierowana Całka powierzchniowa zorientowana to wyrażenie:

J P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy

S to płat po którym całkujemy, przy czym umawiamy się, że jedna strona tego płata zorientowana dodatnio, a druga ujemnie.W(x, y, z) = (P(x, y, z),Q(x,y, z), R(x, y, z) to wektor zaczepiony w punkcie (x,y, z). Zbiór tych wektorów dla każdego punktu płata nazywamy polem wektorowym. Natomiast interpretacja fizyczna samej całki to strumień tego pola wektorowego przez powierzchnię płata.

Praktyczny sposób liczenia takich całek jest trochę podobny do przypadku całki krzywoliniowej skierowanej, tylko tym razem wzór jest trochę bardziej skomplikowany. Jeśli płat S dany jest równaniem z = h(x, y), jest skierowany do góry, a jego rzutem na płaszczyznę OXY jest obszar- D, to:

JJ_s(Pdydz + Qdxdz + Rdxdy)dS = JJ^ [--Pfa, y, h(x, y))h'_x(x, y) - Q(x, y, h(x,y))h'_y(x, y) + R(x, y, h(x, j/))] d

Przykład:

Policzmy całkę:

Jf_s yzdydz + xzdxdz + xydxdy

po górnej części płaszczyzny kawałka płaszczyzny x + y + z = 1 takiego, że x, y, z > 0

Mamy: h(x, y) = 1 - x - y, h'_x = h'_y = -1 oraz rzutem S na płaszczyznę OXY jest oczywiście trójkąt

0<j/<a:,0<x<l. W takim razie zgodnie ze wzorem mamy (za każde z wstawiając h(x,y)):

Jf_s yzdydz + xzdxdz + xydxdy = ff_D[y(l - x - y) + x(l - x - y) + xy] dxdy a teraz wystarczy uporządkować wyrażenie podcałkowe i policzyć prostą całkę podwójną.