4292417166

8 Równania różniczkowe I rzędu

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którym pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej y oraz pochodna tej funkcji y'. Rozwiązać równanie różniczkowe to tyle co wyznaczyć wszystkie funkcje y, które spełniają to równanie.

Warto pamiętać, że napis y' to tyle co napis

Typy równań różniczkowych

A)    Równanie o zmiennych rozdzielonych

Jest to równanie, które można przekształcić do postaci L(y)dy = P(x)dx. Po doprowadzeniu do tej postaci wystarczy scałkować obustronnie (pamiętając o stałej!) i w miarę możliwości wyznaczyć z otrzymanego równania y.

Przykład: (x² +1 )y' = 2xy Mamy równoważnie kolejno:

(*> + l)|| = 2*,    ? =

Teraz, kiedy zmienne zostały już rozdzielone, wystarczy dopisać do obu stron znak całki i scałkować: /f=/I§g ln|y| = ln(*² + l) + C Wyznaczamy teraz y:

_ein|y| _ _ein(x²+i)+c |y| = e^c ■ (x² + 1) y = ±e^c(x² + 1)

Ponieważ ±e^c to stała równie dobra co C, możemy zapisać ostatecznie wynik w postaci y = C(x² +1).

Niektóre równania różniczkowe rozwiązuje się wprowadzając nową zmienną. W takim wypadku należy obliczyć jak od nowej zmiennej zależy y i y' (i ewentualnie dalsze pochodne) i wstawić otrzymane zależności do wyjściowego równania. W ten sposób pozbędziemy się z równania starej zmiennej i zostanie nowa - oczywiście ma to sens tylko wtedy gdy nowe równanie będzie prostsze. Z taką sytuacją będziemy mieli do czynienia w równaniach typu B), C) i E).

B)    Równanie typu y' = g{ax + by + c)

W takiej sytuacji podstawiamy u = ax +by + c, skąd oczywiście u' = a + by'

Przykład: y' = (x + 2y + 3)²

Podstawiamy u = x+2y+3, skąd u' = 1 + 2y'. Ponieważ z podstawienia dostajemy, że y' = u², dostajemy stąd nowe równanie u' = 1 + 2u², które jest już prostym równaniem o zmiennych rozdzielonych. Należy pamiętać, żeby po jego rozwiązaniu wrócić do wyjściowej zmiennej y.

C)    Równania typu y' = g (|) (jednorodne)

W takiej sytuacji dokonujemy podstawienia y = £, czyli y = ux, a po zróżniczkowaniu: y' = u'x + u. Przykład: y' = £ ln £

Zgodnie z powyższym podstawieniem dostajemy równanie u'x + u = u lnu, które jest już równaniem o zmiennych rozdzielonych.

D)    Równanie typu y' = p(x)y + q(x) (liniowe)

W takiej sytuacji można użyć gotowego (lecz skomplikowanego) wzoru, ale praktycznie wygodniej jest użyć tzw. metody uzmienniania stałej. Prześledźmy ją na przykładzie y' - 2xy = x³:

Krok 1 - pomijamy część niejednorodną q(x)

y' - 2xy = 0    ^ = 2xdx    f ^ = / 2xdx    ln |y| = x² + C y = Ce?²

18