4292417168

1 Funkcje dwóch zmiennych - wstęp

Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista. Jej wykres można wyobrazić sobie w ten sposób, że każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy wysokość punktu wykresu nad poziomem płaszczyzny. Oczywiście wykres taki znajduje się w przestrzeni trójwymiarowej.

Dziedzinę funkcji dwóch zmiennych wyznacza się analogicznie jak funkcji jednej zmiennej (tzn. trzeba zwrócić uwagę na te same powody dla których coś może wypaść z dziedziny). Różnica jest taka, że tym razem mamy do czynienia z podzbiorem płaszczyzny, a nie prostej i często dużo łatwiej jest narysować zbiór punktów z dziedziny, niż opisać ją analitycznie.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, tu także możemy zdefiniować pochodne, z których najważniejsze są pochodne cząstkowe zdefiniowane następująco:

h    ^v    h-> o    h

W praktyce liczenie pochodnych cząstkowych polega na potraktowaniu jednej zmiennej jako stałej i liczeniu pochodnej funkcji tylko jednej zmiennej.

Przykład:

Dla f(x, y) = 2x²y + xy + y³ mamy: f_x(x, y) = 4xy + y f_y(x, y) = 2x² + x + 3y²

Możemy też zdefiniować pochodne drugiego rzędu (odpowiednik 2 pochodnej f-cji jednej zmiennej):

•    f_xx to pochodna po zmiennej x z f_x

•    fy'_y to pochodna po zmiennej y z /'

•    f_xy to pochodna po zmiennej y z

•    fyx t° pochodna po zmiennej iz/'

Kolejność w dwóch ostatnich wypadkach jest umowna (zależy od podręcznika), na szczęście w praktyce to bez znaczenia, bo Twierdzenie Schwarza mówi, że dla funkcji "porządnych” (tzn. z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu) zachodzi równość pochodnych mieszanych: f_xy = f_yx.

Przykład:

Dla funkcji z poprzedniego przykładu mamy: f"_x(x,y) = 4y fy_y(x, y) = 6t/ f"_y(x, y) = Ax + 1 Ćwiczenia

1.1

Znajdź (narysuj) dziedzinę funkcji:

a) /(*,») °    _* i[ ^b)/(*,») =

ln(2x - x² - y²) x-y

c) f(x, y) = arccos -

1.2

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji:

a) f(x, y) = 3xV +xy-2x + Z b) f(x,y) = ^{x + 2y} _c)/(x,y) = x^y x-y

2