4292417169

2 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema lokalne

Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych jest następujący:

1)    Obliczamy pochodne cząstkowe f_x, /'

2)    rozwiązujemy układ równań:

otrzymując rozwiązania A\ = (xj,yi),..., A_n = (x_n,y_n) (może być jedno, może być więcej, może nie być żadnego). Każde rozwiązanie tego układu nazywamy punktem stacjonarnym, czyli po ludzku mówiąc: punktem ”podejrzanym” o to, że jest w nim ekstremum. Ekstrema mogą być (ale nie muszą) wyłącznie w punktach stacjonarnych.

3)    Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f_xx, f"_y, f_yx, f_yy (korzystamy przy tym z twierdzenia Schwarza, to znaczy z tego, że dla "porządnych” funkcji jest: f"_y = f_yx, więc tak naprawdę wystarczy policzyć tylko trzy z tych czterech pochodnych).

4) Dla każdego znalezionego punktu stacjonarnego Ak liczymy wyróżnik, czyli:

’xy) Jxx ' Jyy

Są trzy możliwości:

albo jak kto woli - wyznacznik hesjanu, czyli macierzy drugich pochodnych cząstkowych:

•    wyznacznik ujemny (wyróżnik dodatni) - wówczas w punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum

•    wyznacznik (wyróżnik) równy zero - wówczas nie wiadomo czy jest ekstremum i trzeba zbadać innymi metodami

•    wyznacznik dodatni (wyróżnik ujemny) - wówczas jeśli f£x(Ak) > 0, to w badanym punkcie jest minimum, a jeśli f_xx(Ak) < 0, to jest w nim maksimum

Przykład:

f{x,y) = x³ + y³ -3xy

Liczymy pochodne cząstkowe: /' = 3x² -3y f_y = 3y² - 3x Rozwiązujemy układ równań:

13x² -3y = 0    ^ |z² = y

\3y² - 3x = 0    |y² = x

Wstawiamy y z pierwszego równania do drugiego: x* = x o x(x³ -l) = 0<=>x = 0va: = l

Dla x = 1 mamy y = 1, a dla x = 0 mamy y = 0. Są zatem dwa punkty stacjonarne: (0,0) i (1,1). Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f_xx = 6x f_yy = 6y f_xy = -3

Wstawiamy do niego najpierw punkt (0,0) i liczymy wyznacznik: det | ^    = -90

Wstawiamy teraz do niego punkt (1,1): det    = 27 > 0

Dodatkowo 6 > 0, więc w punkcie (1,1) jest minimum.

3