4736387699

Podczas przygotowywania niniejszych notatek korzystaliśmy z następującej literatury:

[1] „Zbiór zadań z programowania matematycznego cz. I”, praca zbiorowa pod redakcją Z. Galasa oraz I. Nykowskiego, PWN 1986; oraz z pozycji umieszczonych w notatkach do wykładu.

1. Zbiory wypukłe i ich topologiczne własności

1.    Niech A E M_mxn(R) będzie dowolną m x n-macierzą o współczynnikach rzeczywistych oraz niech b E R^m. Udowodnić, że zbiory

(a)    {z E Rⁿ ; Ax = &},

(b)    {x E Rⁿ ; Ax = b oraz x > 0}, są wypukłe.

2.    Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów wypukłych X, Y C R zbiory X + Y = {x + y\ x E X,y eY} oraz X — Y = {x — y \ x E X, y EY} są również wypukłe.

3.    Udowodnić, że przekrój dowolnej rodziny zbiorów wypukłych w Rⁿ jest zbiorem wypukłym w Rⁿ.

4.    Udowodnić, że następujące zbiory są wypukłe:

(a)    X    =    {# E Rⁿ | || x — a || < r}, gdzie a E Rⁿ i r    >    0,

(b)    X    =    {a: E Rⁿ | x^TAx < r}, gdzie A E M_nxn(R) jest dodatnio

określoną macierzą symetryczną oraz r > 0.

5.    Udowodnić, że zbiór X = {x E Rⁿ | || x || >1} nie jest wypukły.

6.    Wyznaczyć otoczki wypukłe następujących zbiorów:

(a)    X = {x,y}, gdzie x,y E Rⁿ,

(b)    X    =    {(x,y) E R² | x² + y² < r²}, gdzie r > 0,

(c)    X    =    {(#, y) E R² | x{x — y) = 0, x > 0, y > 0},

(d)    X = {a; E Rⁿ | 0 <|| x ||< r},

(e)    X = {[0,0}^T, [3,0]^T, [1,2]^T, [0,6]^T},

(f)    X = {{x,y) E R² | Sx + 2y < 11, x > 0, y > 0, x, y E Z}.

2