5466967424

108.    A jest macierzą wymiaru n x n. Część rzeczywista jednej z jej wartości własnych jest dodatnia. Udowodnić, że dla dowolnej liczby S > 0 istnieje taka funkcja x: R —* Rⁿ, że: x'(t) = Ax(t) oraz ||x(0)|| < <5 i nie jest prawdą, że limt_,oo ||x(t)|| = 0.

109.    Niech H: R² —* R będzie funkcją klasy C². Rozważamy układ równań x' = y' = — Załóżmy, że grad H(0) = 0. Udowodnić, że dla dowolnej liczby S > 0 istnieje takie rozwiązanie

że |z(0)|,|»(0)| < S i nie jest prawdą, że limt_oo (x(t)² + y(t)²) = 0.

110.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

x⁽⁵⁾ _{+ 2x}(⁴) + 2x⁽³⁾ + 4x" + x' + 2x = 100e"²‘.

111.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) = lOe* + 10e^_t + 10 sin t.

112.    Znaleźć taką funkcję x zmiennej t, że x'(t)cost — 2a;sint = 1 dla t € ( — f, §) i x(0) = 1.

2 Geometria z Algebrą Liniową i Algebra

113.    Czy istnieją ciała charakterystyki 4? Ile rozwiązań ma równanie x⁴ — 1 w ciele charakterystyki 2?

114.    Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu x⁶ — 2 w ciałach R i C.

115.    Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, oraz v\,V2,vs € V. Wykazać, że zbiory wektorów {tą + 2v^,vi + V2 — ^3,5x3} i {i>i,4t>2,61)3} rozpinają tę samą podprzestrzeń liniową.

116.    Wykazać, że jeśli zbiór {v\,V2,...,v_n} jest bazą pewnej przestrzeni liniowej V, to zbiór {ui, vi + V2, ■ • •, v\ +1>2 + ■ • • + v_n} również jest bazą tej przestrzeni.

117.    Sprawdzić, które z poniższych podzbiorów przestrzeni liniowej wszystkich funkcji z R w R są jej podprzestrzeniami liniowymi:

a)    zbiór wszystkich funkcji przyjmujących w punkcie 0 wartość 7,

b)    zbiór wszystkich funkcji mających co najwyżej skończenie wiele punktów nieciągłości,

c)    zbiór wszystkich funkcji przyjmujących wartość 0 poza zbiorem skończonym (zależnym od funkcji).

118.    Niech W będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni V nad ciałem K i v £ U\ W. Wykazać, że jeżeli dim(lin{W U {u}}) = dim W, to wymiar przestrzeni V jest nieskończony.

119.    Znaleźć bazę podprzestrzeni lin{(l, 2,3), (1,2,1), (1,2,2), (2,4,6)} C R^,!.

'1	0	^2\	/^3	2 -1'
7	2	^9 ,	■5	3 -4
,2	0	V	V	1 2,

120. Znaleźć macierze odwrotne (o ile istnieją) macierzy:

/° ^{1 1} i\

121. Obliczyć wyznacznik macierzy

1011 1101 \i 1 1 0/

, ,    l¹0

122. Załóżmy, że przekształcenie liniowe /: R³ —> R³ ma w pewnych bazach macierz I 7 2 9 1.

V ⁰ 5/

(l    0    2\

Wykazać, że nie istnieją takie bazy w R³, w których / miałoby macierz li —1 —11.

\1    ¹    5/

9