5755073612

2.2. Twierdzenia

W tym rozdziale sformułuję dwa ważne twierdzenia z teorii sterowania.

2.2.1.    Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego

Rozwiązywany przeze mnie problem jest w postaci Mayera. Wprowadzę zatem następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.2.1 [BP, tw. 5.1.1, Istnienie sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera]

Załóżmy, że:

1.    zbiór wartości sterowań U C R^m jest zwarty,

2.    funkcja f : [0, oo) x Rⁿ x U —» Rⁿ jest ciągła względem wszystkich zmiennych, różnicz-kowalna w sposób ciągły względem x £ Rⁿ,

3.    dla dowolnego (t,x,u) funkcja f spełnia \f(t,x,u)\ < C(1 + |x|),

4- zbiór prędkości F(t,x) = {f(t,x,u) : u £ U} jest wypukły dla wszystkich t £ [0, T], x £ Rⁿ,

5.    funkcja <j> jest ciągła,

6.    zbiór docelowy S jest domknięty i zawarty w pewnym pasie [0, T] x Rⁿ,

7.    istnieje trajektoria x spełniająca warunki początkowe i końcowe cc(0) = x,(T, x(T)) £ S,

wówczas istnieje sterowanie optymalne dla zagadnienia

max <f)(T,x(T,u)). ueu,T^o

2.2.2.    Zasada Maksimum Pontriagina

Teraz przechodzę do opisania najważniejszego twierdzenia, z którego będę korzystać. Pozwala ono na znalezienie sterowania optymalnego poprzez podanie warunków spełnianych przez to sterowanie.

Załóżmy, iż czas końcowy T jest ustalony (a więc 5 = {T} x Rⁿ).

Podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, tutaj również zagadnienie jest w postaci Mayera. Oznacza to, że szukam

max 0o(x(T,u))    (2-3)

u€U

dla układu opisanego przez układ równań różniczkowych

i =    «(()),

z warunkami początkowymi

x(0) = x,

dla sterowań należących do U, czyli

u(t) £ U dla prawie wszystkich t.