6581544262

Rozwiązanie - 4 (a) W obu wersjach gry żona ma dwie strategie: wynająć detektywa (D) lub nie (ND). Mąż w wersji z niepełną informacją też ma 2 strategie: pójść do pracy (Pr) lub do innej (In), a w wersji z pełną informacją 4: Pr, In i dwie strategie ”warunkowe”:

(D -> Pr, ND -» In) oraz (D In, ND -> Pr).

	Pr	In	D ^ Pr, ND -» In	D ^ In, ND —> Pr
D	—c\p	8 — c ; —10	—c ; 5	8-c ; -10
ND	0 ; p	0 ; 5	0 ; 5	0 ; p

	Pr	In |
Postać normalna przy niepełnej informacji: Z D	—c ; p	8 - c ; 10
ND	0 ; p	0 ; 5

Postać ekstensywna: Ż jako pierwsza wybiera między D a ND, następnie M wybiera między Pr a In. W wersji z niepełną informacją oba jego wierzchołki decyzyjne są w jednym zbiorze informacyjnym.

Oczywiście, jak w każdym takim zadaniu, trzeba porządnie narysować drzewo, podać wypłaty, etykiety wierzchołków i łuków i zaznaczyć ew. zbiory informacyjne.

(b) Z postaci normalnej gry z niepełną informacją widać od razu, że jeżeli c < 8, to żadna para czystych strategii nie jest równowagą (co od razu jest odpowiedzią na (c)). Jeśli c > 8, to ND jest dominującą strategią żony i jest w równowadze z najlepszą odpowiedzią męża na ND, czyli strategią In.

Równowaga w strategiach mieszanych przy c < 8: Z wynajmuje detektywa z prawdopodobieństwem x_D, M idzie do innej z prawdopodobieństwem y_In gdzie yi_n jest tą wielkością, przy której Z jest indyferentna między wyborem D a ND - rozwiązaniem równania 8yj_n — c = 0 ; yi_n — | , yp_r = 1 — # ;

Xd jest tą wielkością, przy której M jest indyferentny między wyborem Pr a In -rozwiązaniem równania —10x/j 4- 5(1 — Xd) — p ; Xq = ^ , x^d —    ;

dla p = 2 mamy Xd = § , %nd = f •

Wypłaty w tej równowadze: Ż 0 , Mp (można darować sobie ich obliczanie, bo wiadomo, że muszą być równe (jednakowym) wypłatom każdej ze strategii czystych przeciw tym mieszanym strategiom równowagi).

W grze z pełną informacją indukcja wstecz wyznacza jedyną równowagę doskonałą: (ND , (D —* In, ND —> Pr)) - strategia męża w tej równowadze słabo dominuje każdą inną. Przy c < 8 nie ma innych równowag z tego samego powodu co w grze z niepełną informacją.