57338 img338 (4)

rozwiązania gry będziemy szukać w zbiorze strategii mieszanych. W pierwszej kolejności sprawdzimy, czy nie ma tzw. strategii zdominowanych. Porównamy parami trzy strategie: A,, A₂ i A₃. Jak łatwo zauważyć, strategia A_t daje w każdym przypadku niższe wygrane niż strategia A₂. Gracz A nie powinien nigdy stosować strategii A_t (jest to strategia zdominowana przez A₂). Porównajmy również strategie B_1; B₂ i B₃. Strategia B₂ daje zawsze większe przegrane niż strategia Bj. Gracz B nie będzie więc używał w czasie gry strategii B₂ (jest to strategia zdominowana przez Bj). Po wykreśleniu strategii zdominowanych otrzymamy nową macierz gry (tabl. 130).

Tablica 130

A	^ . ^B	B,	b3
	a2	150	140
	A-3	80	220

Każdy z graczy powinien stosować w czasie gry tylko dwie strategie: gracz A strategię A₂ z częstością p(0 p ^ 1) i strategię A₃ z częstością 1 — p; gracz B będzie stosował strategię B_t z częstością <j(0 q ^ 1), a strategię B₃ z częstością 1 — q.

Wygrana gracza A, oznaczona symbolem v, w przypadku gdy gracz B będzie cały czas stosował strategię B_l5 wyniesie

v = 150p + 80(l-p),    (1)

natomiast gdy gracz B będzie stosował strategię B₃, wygrana gracza A wyniesie

v = 140p + 220(1 -p).    (2)

Porównując równania (1) i (2) stronami, otrzymujemy

150p + 80(1 — p) = 140p + 220(1-p).

Obecnie możemy już obliczyć p, czyli częstość stosowania przez gracza A strategii A₂:

Podstawiając wartość p = 14/15 do równania (1) lub (2), otrzymujemy wartość gry v:

v

145,3.

Menedżer przedsiębiorstwa A powinien więc produkować 200 tys. szt. wyrobu (stosować strategię A₂) z częstością 14/15 i 300 tys. szt. wyrobu (stosować strategię A₃) z częstością 1/15. Przy takim poziomie produkcji przeciętny zysk wyniesie 145,3 tys. zł.

Podobnie można wyznaczyć rozwiązanie dla gracza B. Wygrana v gracza B, w przypadku gdy gracz A będzie cały czas stosował strategię A₂, wyniesie

v = 150q +140(1—g).    (3)

Podobnie, gdy gracz A będzie stosował tylko strategię A₃, wygrana wyniesie

v = 8O4 + 220(1 -q).    (4)

Porównując równania (3) i (4) stronami otrzymujemy:

1504 + 140(1—4) = 80^ + 220(1-^)

i możemy obliczyć q\

⁹ “ Ts* °-⁵³'

Menedżer przedsiębiorstwa B powinien więc produkować 100 tys. szt. wyrobu z częstością 8/15 i 300 tys. szt. wyrobu z częstością 7/15. Jego strata wyniesie wtedy przeciętnie 145,3 tys. zł. Graficzne wyznaczenie wartości p i 4 przedstawiono na rys. 12 i 13.

Możliwe jest również rozwiązanie tego zadania przez sprowadzenie go do programu liniowego. Załóżmy, że gracz A będzie stosował strategię A₂ z częstością Xj, a strategię A₃ z częstością x₂, natomiast gracz B będzie stosował strategię B_Ł z częstością y_u a strategię B₃ - z częstością y₂. Jeżeli gracz A

133