31,32

prawdopodobieństwo, że zmierzono czas z błędem przekraczającym 0,02s. Rozwiązanie. Niech X będzie błędem odczytu popełnionym przy pomiarze czasu. Gęstość tej zmiennej o rozkładzie jednostajnym w przedziale (-0,05:0,05) ma postać:

dla x| < 0,05

dla pozost. x

a szukane prawdopodobieństwo wynosi

X >0,02) = 1-P(X <0,02) = 1-

0,02

j*10dx = 0,6

-0,02

Przykład 11. Podziałka skali woltomierza jest wycechowana co 0,5V. Wskazania woltomierza zaokrągla się do najbliższego punktu podziału. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że przy odczycie zostanie popełniony błąd nie przekraczający 0,1 V.

Rozwiązanie. Jeśli zmienna losowa X jest błędem odczytu wskazań woltomierza, to jej gęstość rozkładu ma postać

/(•*) = <

2 dla x < 0,25 0 dla pozost. x

Zatem

o.i

P(|x|)<0,l)=    = 0,4

-0,1

Rozkład wykładniczy

Wróćmy do badania niezawodnościowego. Niech X(co) będzie czasem bezawaryjnej pracy urządzenia (V coX((d) >0). Załóżmy, że prawdopodobieństwo awarii urządzenia w czasie <t,t+At) pod warunkiem, że do chwili turządzenie pracowało bezawaryjnie

wynosi XAt+V(At) (lim    0, X > 8).

Oznaczmy R(t)=P(X(co)>t). Funkcję R(t) nazywa się niezawodnością urządzenia. Zauważmy, że R(0)=1. Z własności (6) prawdopodobieństwa otrzymamy: R(t+At)=P(X(co)>t+At)=P(X(co)>t).P(X(co)>t+At I X(co)>t=

= R(t).[1 -P(X(co)<t+AtlXwu>t)]=

=R(t)[1 -X. At+V?(At)]. Stąd

R(t + At) — R(t) At

-X • R(t) + R(t)

o(At)

At

Przy At-^O otrzymamy równanie różniczkowe

R'(t)=-A,.R(t)

które przy warunku początkowym r(0)=1 daje rozwiązanie

e ^M dla    t > 0

1 dla    t< 0

(22) F_x (t) =

dla t < 0 dla t> 0

Zatem dystrybuanta zmiennej losowej X ma rozkład

a odpowiadająca jej gęstość jest postaci

(23) f(t) =

dla t> 0 dla t < 0

Gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym z parametrem A.=1 wykorzystano już w przykładzie

Def. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem A>0, gdy jej gęstoć prawdopodobieństwa ma postać (23).

Liczne zastosowania rozkładu wykładniczego wiążą się z jego własnością zwaną "brakiem pamięci", co można zapisać "językiem" prawdopodobieństwa: dla t,s >0

p(x > t+ s|X > t)=P(X >s)

Istotnie

_P(x > t+ sX > t)=    - ^t + s)^n(x - ^ł)) _    -^{t + s}) _ l-F(t + s) __e-, _ _p(x >_s)

^{v    y}    P(X>t)    P(X>t) l-F(t)

Własność tę można interpretować następująco: jeżeli zmienna losowa X jest czasem bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia i ma ona rozkład wykładniczy to niezależnie od dotychczasowego czasu pracy urządzenia, dalszy czas pracy nie zależy od przeszłości i ma taki sam rozkład jak całkowity czas pracy urządzenia.

32