Model elektronów  swobodnych w metalu
Nieskończenie głęboka studnia potencjału  sześcienne pudło o boku L
3 2
2
�# ś#
�(x, y, z)= sin(kxx)sin(ky y)sin(kz z)
ś# ź#
L
�# #
Ą Ą Ą
kx = nx , ky = ny , kz = nz , nx,ny,nz =1,2,3,....
L L L
2
h2 2 2 2 h2k
E = (kx + ky + kz )=
2m 2m
Stany elektronu w nieskończenie głębokiej trójwymiarowej studni
potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k
Gęstość stanów elektronu na
jednostkę objętości kryształu
3 2
(2m)
g(E)d E = E1 2 d E
2
2Ą h3
Liczba elektronów walencyjnych
na jednostkę objętości jest
równa liczbie stanów o energii
od 0 do energii Fermiego EF
EF
3 2
(2m)
3
n = g(E)d E = EF 2
+" 2
3Ą h3
0
Fale stojące - warunki brzegowe
W temperaturze zera bezwględnego
znikanie funkcji falowej na brzegach
sześciennej kostki L3.
T=0 K energia Fermiego (potencjał
W przestrzeni wektora falowego k
chemiczny elektronów) jest
reprezentowane są przez punkty,
h2 2 2 3
EF = (3Ą n)
których współrzędne kx, ky, kz są
2m
dodatnią wielokrotnością Ą/L.
1
Elektrony swobodne w metalu temperaturze T=0 K
Obsadzone są stany o energii mniejszej od energii Fermiego EF
Prawdopodobieństwo
W przestrzeni wektora
Koncentracja elektronów n
obsadzenia stanów
falowego k kula Fermiego
jest równa polu pod
zawiera stany obsadzone
krzywą gęstości stanów
przez elektrony
dla Ew temperaturze T=0 K.
Koncentracja elektronów swobodnych n, promień kuli o objętości
przypadającej na jeden elektron rs wyrażony przez promień Bohra a0,
promień sfery Fermiego kF, prędkość Fermiego vF, energia Fermiego EF,
temperatura Fermiego TF
4Ąrs3/3=1/(na03)
2
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach
1
fFD(E)=
�# - EF ź#
ś#
E
ś#
expś# ź# +1
kBT
�# #
Styczna do krzywej w punkcie f(EF)=0,5 przecina oś energii i prostą
f(E)=1 w punktach odległych o 2kBT od EF
Pojemność cieplna gazu elektronów swobodnych w metalu
Oszacowanie:
Wzbudzenia termiczne elektronów w
przedziale energii od EF-2kBT do EF+2kBT
Średnio wzrost energii elektronu o 2kBT
Liczba wzbudzonych elektronów nkBT/EF
Wzrost energii wewnętrznej "U=2nkB2T2/EF
Pojemność cieplna Ce=d("U)/dT=4nkB2T/EF
Wynik obliczeń dokładnych:
Pojemność cieplna Ce=4,93nkB2T/EF
3
Wkłady elektronów swobodnych i drgań sieci krystalicznej do ciepła
właściwego metalu
drgania
atomów
C(T) = łT+ �T3
elektrony
swobodne
Wykres C/T w funkcji T2 dla miedzi
Gęstość stanów elektronów
dla pasma przewodnictwa
metalu przejściowego
Przewodność elektryczna metali o różnej koncentracji elektronów walencyjnych
4
Opór elektryczny metali
Rozpraszanie elektronów na
nieregularnościach kryształu:
a) drganiach atomów - fononach,
b) defektach i atomach domieszki.
Opór elektryczny w niskiej temperaturze
dwu próbek potasu o różnej koncentracji
domieszek i defektów sieci
5
W wysokiej temperaturze dominuje rozpraszanie
Opór elektryczny metali
elektronów na drganiach atomów. W opisie
kwantowym mówimy o fononach  falach drgań
sieci krystalicznej.
Przekrój czynny na rozpraszanie jest proporcjonalny
do średniej z kwadratu amplitudy drgań atomów,
która zgodnie z zasadą ekwipartycji energii jest
proporcjonalna do temperatury
kBT
S " x2 H"
M�2
1
� = vF� =
Średnia droga swobodna jest
naS
ne2�
-1
Zależność od temperatury Przewodność elektryczna � = " T
mvF
oporu elektrycznego metalu
-1
� = � " T
Oporność właściwa
wzrasta liniowo z temperaturą
W niskiej temperaturze dominuje rozpraszanie
elektronów na defektach i domieszkach. Przekrój
czynny i średnia droga swobodna nie zależą od
temperatury, zatem oporność nie zmienia się z
temperaturą  oporność resztkowa.
Przewodzenie ciepła przez metale
Strumień energii termicznej jest proporcjonalny
do gradientu temperatury
dT
JQ = -�
d x
Współczynnik przewodzenia ciepła elektronów
2 2
1 Ą kBn�
K = CevF� = T
3 3mvF
Przewodność elektryczna � i współczynnik
przewodzenia ciepła K metalu są powiązane
prawem Wiedemanna-Franza:
2
2
K Ą kB
�# ś#
Zależność od temperatury
= = 2,45 �10-8 W &! K-2
ś# ź#
�T 3 e
�# #
współczynnika
przewodzenia ciepła metalu
Prawo to jest potwierdzone doświadczalnie w zakresie
wysokich i niskich temperatur.
W pośrednim zakresie temperatury prawo to nie
obowiązuje, gdyż różne są czasy relaksacji �=�/vF
nierównowagowych rozkładów elektronów wywołanych
przepływem prądu i gradientem temperatury.
6
Efekt Halla  wyznaczanie znaku i koncentracji nośników
Pasma energetyczne w ciałach stałych
Poziomy elektronowe atomów w
cząsteczkach ulegają rozszczepieniu.
W kryształach zjawisko to prowadzi do
wytworzenia się pasm.
7
Klasyfikacja ciał stałych na podstawie struktury pasmowej
Metale, półprzewodniki, izolatory
8