89
x\
\(t, xlO' ),
Ćwiczenie 9 (9.3) 6

it, xlO' ),
stanowiące rozwią ie równań (9.2). Równania (9.3) są p ame ycznymi
równaniami (p ametrem jest czas) pewnej krzywej w p es eni dwuwymia­
BADA DRGAC
NA PA
ASZCZYy
N FAZOWEJ
rowej (xl' ). ywą nazywamy trajektorią fazową, a przes eń (x\, )
- płaszczyzną fazową.
DzielÄ…c s onami drugie równanie (9.2) p ez pierwsze, otrzymujemy rów­
. Ćwiczenie skÅ‚ada siÄ™ z dwóch części. Pierwsza polega na badaniu wÅ‚aÅ›ci­
nanie I rzędu z niewiadomą funkcją = I(x\)
wości punktów osobliwych liniowego oscylatora o jednym stopniu swob y,
w drugiej bada się obrazy fazowe oscylatorów z różnymi nieliniowościami
programowanymi na stanowisku badawczym.
(9.4)
Celem ćwiczenia jest pokazanie praktycznego zastosowania metody topolo­
gicznej w badaniu drgań, a także zademonstrowanie ważnych właściwości
Możemy zauważyć, że dla ukÅ‚adów autonomicznyćh, tzn. takićh, dla któ­
drgaÅ„ nieliniowych; a szczególnie niestatecinych' ptinktów równowagi, k y­
rych funkcja F nie eży jawnie czasu, rozwiązanie ogólne równ ia (9.4)
wych sepa jÄ…cych i cykli granicznych.
opisuje r zinę staćjon ych trajektorii fazowych układu. Rodzina ta nosi
nazwÄ™ obrazu fazowego' ukÅ‚adu. Metoda pÅ‚aszczyzny fazowej polega na ali­
zie obrazu fazowego otrzymanego w wyniku caÅ‚kowania równ ia (9.4), dlate­
go odnosi siÄ™ ona do 'ukÅ‚adów autonomicznych. Dalej zajmiemy siÄ™ autonomi­
9.1. Wprowadzenie teoretyczne
czną postacią równania (9.4). Zmienne x\ i będziemy inte retować jako
przemieszczenie i prÄ™dkość (l iowe lub kÄ…towe). Równanie trajektorii fazo­
wej p y tych założeniach przyjmuje postać
9.1.1. PÅ‚aszczyzna fazowa, trajektorie fazowe, punk osobliwe
dv _ F(x,v)
Met a płaszczyzny fazowej jest topologiczną met ą badania układów
(9.5)
=
v
dynamicznych rzÄ™du, w tym także mechanicznych ukÅ‚adów o jednym stop­
niu swobody. Polega ona na poszukiwaniu rozwiÄ…zania dynamicznego równa­
Punkt płaszczyzny fazowej p(x',v '), w którym równocześnie v' = O oraz
nia ruchu nie jako funkcji czasu, lecz w postaci zależności między prędkością
F(x',v') = O , nazywamy punktem osobliwym układu. Inne punkty nazywamy
a przemieszczeniem. Metoda pÅ‚aszczyzny fazowej pozwala okreÅ›lić p stawo­
zwykłymi lub regul ymi. Jak widać, punkty osobliwe układu (9.1) le na
wżÿ wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci ruchu bez pot eby rozwiÄ…zywania wyjÅ›ciowych równaÅ„
osi x pÅ‚aszczyzny fazowej. Punktów tych może być wiele. SpeÅ‚nienie warun­
ruchu w dziedzinie c su.
ków jednoznaczności rozwiązań sprawia, że przez każdy regul y punkt
Rozpatrzmy układ o jednym stopniu swob y opisany równaniem
pÅ‚aszczyzny fazowej przechodzi jedna i tylko jedna trajektoria fazowa. Ozna­
(9.1)
i + F(x ,t) = O,
cza to, trajektorie fazowe nie mogą się przecinać w punktach regula ych.
żÿe
Zauważmy, że punkty osobliwe układu autonomicznego (9.1) są punktami
gdzie jest na ogół nieliniowÄ… funkcjÄ… swych argumentóżÿ.
F
równowagi tego układu. Rzeczywiście, dla punktów osobliwych jest v = O
Równanie (9.1) możemy zastÄ…pić dwoma równaniami I Ä™du, wprowadza­
oraz F(x, v) = O, co pociąga za sobą dv/dt = O, a to oznacza równowagę. w
jąc nowe zmienne: x\ = x, = x. Mają one postać
Aby znalez
ć poÅ‚ożenie punktów osobliwych na osi x, należy rozwiÄ…zać rów­
x\ = '
nanie F(x,O) = O.
(9.2)
W układach liniowych (funkcja F liniowo z eży od x) istnieje tylko jeden
= ,t).
x2 - F(x1'
punkt osobliwy. Jeśli rozpatrywany punkt osobliwy nie jest punktem zerowym
Jeżeli sÄ… speÅ‚nione warunki istnienia i jednoznacznoÅ›ci rozwiÄ… Å„ ukÅ‚adu (x' żÿ O), to zawsze można go sprowadzić do zera p ez wprowadzenie nowej
(9.2), to dla każdych warunków poczÄ…tkowych x\(O) = X\O i (0) = ist­ zmiennej y = x - x' i rozpatrywać równanie

niejÄ… dwie funkcje
91
90
(9.6)
=
y + O,
j(y;j)
( =-9
=
gdzie ( + x' ) , przy czym O O) = O
F
j( y;j) y j( , .
względu ,na zachowanie się trajektorii f owych w otoczeniu punktów
osobliwych pużÿkty te można podzielić na stateczne (trajektorie zaczynajÄ…ce
siÄ™ w dowolnym sÄ…siedztwie takich punktów nie dalajÄ… siÄ™ od nich w spo­
sób trwały) i niestateczne (trajektorie oddalają się od nich z upływem czasu).
O stateczności punktu osobliwego można często wnioskować na podstawie
rownania chżÿ zIinearyzowanego w otoczeniu tego punktu. Linearyzacja
polega na rozwinięciu funkcji F(x, v) w szereg Taylora (lub funkcji j(y, v)
w szereg Maclliurina) i pominięciu wyrazów stopnia wyższego niż pierwszy.
(=0
Stateczność punktu osobliwego wa nkujÄ… pie iastki równania charakterysty­
(= -7
cznego układu zlinearyzowanego wokół tego punktu. Jeśli części rzeczywiste
obu tych pierwiastków są ujemne, to punkt osobliwy jest ymptotycznie
(=-4 (=-3
stateczny (wszystkie trajektorie z pewnego otoczenia tego punktu zmierzajÄ… do
niego wraz z upÅ‚ywem czasu). JeÅ›li te części sÄ… równe zeru, to punkt osobli­ Rys. 9.1. Kons ukcja jektorii f owej met Ä… izoklin (uklad opis y równ iem
wy może być stateczny, asymptotycznie stateczny lub niestateczny, a warun­ i+5i+4x =O)
kujÄ… to wyrazy nieliniowe funkcji F. W p ypadku d atnich części rzeczy­
wistych (lub samych pierwiastków) punkt osobliwy jest niestateczny .
Z równania (9.5) wynika ważna wÅ‚aÅ›ciwość trajektorii f owych jako krzy­
wych geometrycznych: we wszystkich punktach regul ych trajektorie fazowe
9.1.2. ty osob we autono nego u adu owego
p ecinajÄ… oÅ› x pod kÄ…tem prostym. Ruch punktu f owego po trajektorii
odbywa się tak, że na górnej półpłaszczyz
nie współ ędna x rośnie (v > O),
a na dolnej maleje.
Załóżmy następującą postać funkcji F w równaniu (9.1)
RozwiÄ…zanie równania trajektorii fazowych (9.5), poza p ypadkami szcze­
(9. 8)
=
t) +
F(x,i, .px ai, (a,p ER),
i gólnymi, również napotyka t dnoÅ›ci. Znanych jest kilka metod umożliwiajÄ…­
II
cych uzyskanie obrazu fazowego p y wykorzystaniu zależnoÅ›ci geometrycz­
którą możemy także traktować jako część liniową tej funkcji.
nych na pł zczyz
nie fazowej. JednÄ… z nich jest met a izoklin.
Równanie charakterystyczne dla (9.8) jest
i! .
Izokliną n ywamy miejsce geometryczne punktów płaszczyzny fazowej
'"
2
= (9.9)
r + ar + p O,
o tej właściwości, że trajektorie w tych punktach mają ten sam kąt nachylenia
stycznej. Izokliny, podobnie jak trajektorie f owe, stanowiÄ… rodzinÄ™ k y­ 2
a jego wyróżnik ma postać = a - 4p. Rozpat my cztery przypadki
wych, które nie mogą się p ecinać w punktach regul ych płaszczyzny
1) a = O, P > O, < O
fazowej. Z definicji wynika konstrukcja równania r ziny. Jeśli C oznacza
Pie iastki równania (9.9) są liczbami urojonymi
tangens kąta nachylenia stycznej, to rodzina izoklin jest opisana równaniem
(9.10) w
_ F(x, v) .
= (9.7)
C
gdzie Wo lP.
=
v
Rozwiązanie równania chu jest funkcją harmoniczną
Jeśli w obrazie fazowym istnieją trajektorie proste, to istnieją też izokliny
+ ),
x(t) = A s (wot (9.11)
proste i k ywe te pokrywają się. Mając p ebiegi izoklin, możemy z dowolną
dokładnością, odcinek po odcinku szkicować trajektorię f ową, zaczynając
gdzie A należy wyznaczyć z warunków początkowych.
z pewnego punktu poczÄ…tkowego (rys. 9.1).
93
92
v
aj v bJ
Równanie trajektorii fazowych
dv = _ px
(9.12)
d x v
ma rozwiązanie ogólne
(9.13)
C O) ,
( >żÿ
które opisuje jednoparametrowÄ… rodzinÄ™ elips o Å›rodku (0,0) i osiach równo­
ległych do osi współ ędnych (rys. 9.2).
. 1 .
Punkt osobliwy w tym przypadku nazywamy środkiem. Jest to stateczny
punkt równowagi układu.
Rys. 9.3. Tr ektorie f owe wokół punktu osobliwego typu ..ognisko"
v
3) a O; A żÿ O
Pierwiastki charakte styczne sÄ… w tym przypadku rzeczywiste
(9.16)
1
a rozwiązanie równ a ruchu jest
= (9.17)
x(t) exp (-żÿ at (A s w't + B cosh wOt).
)
Punkt osobliwy P(O,O) nosi nazwę węzła. Jest to węzeł stateczny, gdy
a O i niestateczny, gdy a < O.
>
Zbadajmy istnienie trajektorii prostych. Należy tym samym poszukać izo­
Rys. 9.2. Obraz fazowy układu z punktem osobliwym typu "śr ek"
klin prostych. Na p stawie wzoru (9.7) mamy równanie
px + av
=
(9.18)
C.
2) a O, A < O
v
W tym przypadku mamy pierwiastki char te styczne
Jest to równanie r ziny prostych, których współczynnik nachylenia
rl = - żÿ Ä… iw, (w = )
jest -P/Ca + C). Trajektorie proste istnieją, ponieważ istnieją rozwiązania
2
równania dla C
oraz rozwiązanie równania ruchu
p
(9.19)
C
(9.15)
a + C'
=
x(t) A exp (wt +
(-żÿ t)s ),.
identyczne z pierwiastkami charakterystycznymi (9.16).
gdzie A i sÄ… staÅ‚ymi calkowania. Równanie trajektorii jest trudniżÿj rozwiÄ…­
IstniejÄ… zatem dwie trajektorie proste Qedna w granicznym przypadku, gdy v
zać. Wystarczy stwierdzić, że trajektorie są spiralami. Punkt osobllwy P(?,O)
A = O). Na rys. 9.4 przedstawiono trajektorie w otoczeniu węzła statecznego
.
nosi nazwę ogniska. Zależnie od znaku a są dwa typy ogmska: ogmsko
\ i niestatecznego.
stateczne (a > O) i niestateczne (a < O). Rysunek (9.3) p edstawia przykłady
=
4) O, P < O
trajektorii w otoczeniu ogniska statecznego (a) i ogniska niestatecznego (h).
W tym p ypadku mamy
Przypadek (a) odpowiada slabemu tłumieniu (tłumieniu podkrytycznemu).
(9.20)
=
r1 Ä…w',
94
Ogniska Ogniska
niestateczne ta e e
O
(9.22)
ęzły
ęz
Å‚y
niestateczne stateczne
które opisuje rodzinę hiperbol (rys. 9.5). Trajektorie proste mają równania
Siodta Si odta
Obszary na płaszczyz
nie współczynników i p odpowiadające różnym
Siodła
punktom osobliwym pokazano na rys. 9.6.
Rys. Obs różnych punktów osobliwych w zależnożÿci ws czynników liniowego
równania chu
=
Rys. T jektorie fazowe wokół punktu osobliwego typu .,w zeÅ‚··
(9.23)
=
2
=,
(9.23)
= O,
w
(9.24)
= -
O. (4.24),
Rys. ebiegi trajektorii f owych wokół punkbJ typu "si ło"
96
granicznego są kompensowane p ez energię doprowadzoną do układu na
(9. 25)
U(x) (-ażÿx2 - sgn x.
=
pozostaÅ‚ym odcinku trajektoÅ„i. Cykl graniczny otacza punkt osobliwy (statecz­
2
ny lub niestateczny). Cykle graniczne mogą być zawarte jeden w d gim, ten
w następnym itd. Wówczas są na p emian - stateczne i niestateczne.
Rysunek 9. 7 przedstawia p ebiegi U(x) oraz ajektorii fazowych dla
Rozpatrzmy ch ukÅ‚adu opisanego równaniem (ukÅ‚ad ten może być zamo­
różnych energii całkowitych wprowadzanych poprzez warunki p zątkowe.
delowany na stanowisku badawczym w tym ćwiczeniu)
TrajektoÅ„a S nosi nazwÄ™ krzywej sepa jÄ…cej. Oddziela ona obszary pÅ‚ zczy­
zny fazowej, w któ ch trajektorie fazowe mają odmienne właściwości. (9. 26)
=
a ( ) (v ao O, a < O),
i = + f v , X, <
u(x}
p y czym
O dla
(9.27)
=
f(v) 1
a(v-v') Iv-v·I>O.
=
Zadanie wa nków poczÄ…tkowych x(O) Xo i v(O) = Vo pow uje wpro­
wadzenie do układu energii (na jednostkę masy)
l 1
2
o (9.28)
Eo - V2 + - (-a xo .
=
2 2
; =
Jeżeli Eo żÿ E I/2(v ' , to ruch jest okresowy, punkt osobliwy P(O,O)
)2
jest Å›rodkiem, drgania zachowujÄ… energiÄ™ p zÄ…tkowÄ…, a .trajekto e sÄ… elipsa­
o'
mi o Å›rodku w punkcie (0,0). Jeżeli Eo >E , to wystÄ™puje rozpraszanie ener­
gii, a trajektoÅ„e sÄ… spiralami, które asymptotycznie zmierz Ä… do cyklu grani­
cznego (rys. 9.8). Równanie cyklu granicznego można otrzymać przyjmując
=
wa nki poczÄ…tkowe x(O) = O, v(O) v' . Na podstawie zasady zachowania
energii otrzymujemy równanie trajektorii
x
Rys. 9.7. Obraz fazowy z krzywÄ… sep jÄ…cÄ…
2) Obrazy fazowe z cyklami granicznymi
I·
Cyklem granicznym nazywamy trajektońę zamkniętą o następujących
I
właści wościach:
x
- istnieje obszar płaszczyzny fazowej sąsiadujący ż trajektorią, w którym
wszystkie trajektorie albo zbliżajÄ… siÄ™ do tej trajekto i, albo siÄ™ od niej odda­
lają. W pierwszym przypadku mówimy o cyklu granicznym statecznym,
w d gim o niestatecznym;
- po przebyciu pełnego cyklu granicznego przez punkt fazowy całkowita
Rys. 9.8. Obraz fazowy z cyklem granicznym
energia układu nie zmienia się.
Cykle graniczne występują w ukladach samowzbudnych. Ruch okresowy
odpowiadający cyklowi granicznemu statecznemu oznacza stan równowagi
energetycznej, w którym straty energii następujące na pewnym odcinku cyklu
99
98
(9.29)
trzymanie rozwiązywania w dowolnym momencie następuje po wciśnięciu
klawisza STOP. Rozwiązanie można kontynuować lub powrócić do wa nków
początkowych p ez wciśnięcie odpowiedniego klawisza (ROZ lub WP).
które możemy przekształcić do postaci
x2 v2 l.
-
+
(9.30)
·
(V )2
9.3. Przebieg ćwiczenia
Cykl graniczny jest więc elipsą (rys. 9. 8).
Część I
I, Włączyć zasilanie układu analogowego i rejestratora.
2, Zbudować modele i zbadać na płaszczyz
nie fazowej układy liniowe,
9.2. Opis stanoWiska
w których występują następujące punkty osobliwe:
- środek,
- ognisko stateczne i niestateczne,
Stanowisko badawcze składa się z układu analogowego umożliwiającego
- węzeł stateczny i niestateczny,
modelowanie pewnych nie liniowych układów II rzędu oraz z rejestratora XY.
- siodło.
Można zamodelować układy opisane dwoma równaniami I ędu
3. Skomentować badane obrazy fazowe.
=
x2'
XI
(9.31 )
= + + Część II
a I alx2 af(xl )
'
x2
I. Zbudować model i zbadać na płaszczyz
nie fazowej układ nieliniowy z
które można przedstawić za pomocą jednego równania II rzędu
krzywÄ… sepa jÄ…cÄ….
x - alx - aox - af(x,x = O.
) 2. ZbudowaĆ mOdel i zbadać układ z cyklem granicznym.
3. Zbudować model i zbadać układ z dowolną inną nieliniowością.
4. Omówić ti'zyskane obrazy fazowe.
f
f f
9.4. Treść sprawo ania
Rys. 9.9. Funkcje nieliniowe realizowane na s nowisku badawczym Sprawozdanie powinno zawierać:
I) opis stanowiska badawczego,
2) opis wykonanych czynności,
Współczynnikom ao' al i a możemy nadawać różne wartości (od O do 7)
3) uzyskane obrazy fazowe modelowanych układów wraz z opisem,
i różne znaki. Funkcja f może mieć jednÄ… z czterech postaci (rys. 9.9) . Mode­
4) uwagi dotyczące otrzymanych wyników.
lowanie polega na wyborze odpowiedniego wariantu funkcji f, okreÅ›leniżÿ jej
argumentów oraz dobraniu wartoÅ›ci i znaków współczynnikżÿw ao, al. I a.
.
SyanaÅ‚ x jest wprowadzany na wejÅ›cie X, a sygnaJ X2 na weJÅ›cie Y reJestra­
'
tor;. Dla I wybranych warunków poczÄ…tkowych (xlO x20) ukÅ‚ad równaÅ„ (9.3 żÿ)
e
jest rozwiÄ…zywany metodÄ… analogowÄ…. RozwiÄ…zywaniu towarzyszy kreÅ›lenżÿ
trajektorii fazowej prz5z piżÿak rejestratora. Wru:unki pożÿzÄ…tkowe ustżÿwżÿa SiÄ™
I
za pomocą pokręteł X i Xl na płycie czołowej stanowiska przy wCiśniętym
klawiszu WP. Aby uzyskać rozwiązanie, należy wcisnąć klawisz ROZ. Za-