swobodnym końcu. Częstość drgań układu odpowiadającą pie szej postaci
Ćwiczenie 2
drgań nazywamy częstością podstawową. Jeżeli ograniczymy się do analizy 5
drgań wyłącznie z pierwszą częstością własną, to układ taki, z pewnym przy-
bliżeniem, możemy zastąpić układem o jednym stopniu swobody.
Schemat ideowy badanego w tym ćwiczeniu układu przedstawiono na
rys. 2.2. Na belce wysięgnikowej umieszczone są dwa elementy o masachm)
BADANIE DRGAC
GI
TNYCH BELKI
i m2, Element pierwszy to zespół wymuszajÄ…cy, drugi zaÅ› to silnik napÄ™dzajÄ…­
cy ten zespół. Taki układ ma dyskretno-ciągły rozkład masy (belka - rozkład
PRZY WYMUSZENIU BEZWA
ADNOÅšCIOWYM
ciągły, elementy, o masach mI i m2 - skupiony). Opis drgań takiego układu
jest zÅ‚ożony. Bliska odlegÅ‚ość miÄ™dzy wspomnianymi masami oraz duża szty­
wność belki pozwala jednak na zaniedbanie wpływu takiego rozkładu mas na
Celem ćwiczenia jest praktyczne zaznajomienie studentów z analizą drgań
przebieg drgań pierwszej postaci, zwłaszcza na kształt linii ugięcia. Takie
giętnych belki wymuszonych bezwładnościowo.
przybliżenie pozwala w konsekwencji na traktowańie badanego układu jak
Ćwiczenie obejmuje badanie zjawiska rezonansu oraz wyznaczenie masy
układu o jednym stopniu swobody, którego opis jest prosty.
zastępczej uk!adu drgającego za pomocą energetycznej metody Rayleigha.
2.1. Wprowadzenie teoretyczne
2.1.1. Wybór modelu układu drgającego i okres1enie masy zredukowanej
"
! żÿ
Układ belki wysięgnikowej utwierdzonej w jednym końcu jest układem
o ciągłym rozkładzie masy. Układy takie charakteryzują się nieskończenie
l'
j
wieloma stopniami swobody. Mogą wykonywać drgania o wielu postaciach
x
różniących się między sobą kształtem linii odkształcenia. Każdej postaci
odpowiada ściśle określona częstość drgań, zwana częstością własną. ztałt
Rys. 2.2. Schemat układu z dwiema masami skupionymi
linii ugIęcia odpowiadającej pierwszej postaci drg belki przedstawiono na
rys. 2.1. Jest ona zbżÿiżona do linii ugiÄ™cia belki obciążonej siÅ‚Ä… skupionÄ… na
Do wyznaczania częstości podstawowej takiego układu stosuje się metody
przybliżone.·W tym p ypadku - metodÄ™ Rayleigha J t to metoda energety­
u
czna wyko ystUjąca zasadę zachowania energii układu porus jącego się
w potencjalnym polu sił. W związku z powy'ższym jest konieczne określenie
maksymalnej energii potencjalnej (przy maksymalnym wychyleniu) or mak­
symalnej energii kinetycznej (przy maksymalnej p dkoÅ›ci). Wymaga to przy­
x
jęcia opisu linii odkształcenia belki podczas drgań. Im dokładniej potrafimy
opisać kształt tej linii, tym dokładniej określimy częstość własną układu."
W przypadku belki wysięgnikowej wystarc jąco dobre p ybliżenie uzyskuje
się, przyjmując do tego celu równanie opisujące ksitałt linii ugięcia belki
wysięgnikowej obciążonej na swobodnym końcu siłą skupioną (rys. 2.1).
Wprowadzamy tutaj znaczne uproszczenie, bowiem jak już wspomniano, roz­
patrywany układ jest w eczywistości dys e Postępujemy tak ze
x
względu na to, że uzyskujemy w ten s opisujące linię
Rys. 2.1. Schemat ideowy układu o jednym stopniu swo y
\"':"
'" <.żÿ ; ,.. żÿżÿ"."
.
18
ugięcia. Takiego uproszczenia nie możemy założyć p y obliczaniu energii 2
dE = dmiu'
kinetycznej układu. Jej wielkość obliczymy przy uwzględnieniu, że w układzie 2
wystÄ™pujÄ… elementy o ciÄ…gÅ‚ym i skupionym rozkÅ‚adzie mas (rys. 2.2). Bezpo­
gdzie:
średnim skutkiem zastosowania metody RayJeigha będzie wyznaczenie masy
=
pdu,
zredukowanej ukÅ‚adu niezbÄ™dnej do napisania r6wnania ruchu ukÅ‚adu i okreÅ›­
p - masa jednostki długości belki
lenia częstości własnej.
Energia kinetyczna całej belki wynosi więc
Z teorii sprężystoÅ›ci wiemy, że linia ugiÄ™cia l wysiÄ™gnikowej pokaza­
nej na rys. 2.1 jest opisana równaniem
(2.7)
żÿ P l I i2 .
= . ,
2 140
(2.1)
Całkowitą energię kinetyczną układu drgającego uzyskamy po zsumowaniu
Ugięcie swobodnego końca belki wynosi
obliczonych powyżej składowych
2
1 l l
(2.2) 1 I - 2 33
1
1 ·2
2
· .
2
=
E E J + E + E -mlx +-m2
x _.- 1. (28)
+ P IX "
c 3 =
2 3
2 2
21I . 2 140
Jeżeli X jest wychyleniem swobodnego koÅ„ca lki obciążonej siÅ‚Ä… skupio­
na mtg, to. wychylenie elementu odlegÅ‚ego o u od p ekroju utwierdzone­
Po dokonaniu odpowiednich przeksztaÅ‚ceÅ„ otrzymamy wyrażenie okreÅ›lajÄ…­
go (patrz rys. 2.1 i 2.2) jest odpowiednio
ce całkowitą energię kinetyc ą układu drgającego
2
'
(2.3
) (3
l[ Iżÿ- 1 ].2
33 (2.9)
Ec =- m + - pl I x .
+
3
2 I 140
211
MajÄ…c okreÅ›lone przemieszczenia, można przystÄ…pić do obliczenia energii Wyrażenie w zewnÄ™trznym nawiasie przedstawia masÄ™ caÅ‚ego ukÅ‚adu zre­
kinetycznej układu. Będzie ona pochodzić od: dukowaną do swobodnego końca lki. Oznaczymy ją przez
a) elementu o masie mi
(2.1 O)
(2.4)
b) elementu o masie m2
, Wychylenie tej masy wyznaczymy, korzystajÄ…c z r6wnania linii ugiÄ™cia Jeżeli ta wyznaczonÄ… masÄ™ umieÅ›cimy na koÅ„cu nieważkiej belki (a po­
belki.. Mianowicie siadającej taką samą sztywność i t ą długość co belka rzeczywista), to układ
taki będzie wykonywał drgania o tej .samej. częstości co układ rzeczywisty
(2.5)
(belka z dwiema masami skupionymi). Ok Å›lenie masy zredukowanej pozwa­
ła na napisanie równania ruchu drgań układu.
Zatem, energia kinetyczna pochodzÄ…ca od chu tego elementu wynosi
2.1.2. Analiza drgań uszonych u adu
. (2:6)
P edmiotem analizy bÄ™dÄ… drgania belki wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem siiy zmien­
nej harmonicznie o amplitudzie proporcjonalnej do kwadratu jej częstości
c) masy samej belki
(tzw. wymuszenie bezwładnościowe). R6wnanie chu takiego układu można
Jej wartość wyznaczymy również, wyko ystując r6wnanie linii ugięcia
zapisać następująco:
belki. Energia elementu belki wynosi
20
W celu uproszczenia zapisu wprowadzimy dwie nowe staÅ‚e A a zwiÄ…za­
(2.11)
m + ci + = 2m ev2s vt
ne ze stałymi D i B poniższymi zależnościami
gdzie:
m,i siła zwładności p hodząca mas układu drgającego
(2.15)
D = Acos8, B = Asin8.
(m, - masa zredukowana układu),
sila p h ząca tłumika olejowego (zakladamy, że siła ta jest
Wówczas rozwiązanie (2.13) przyjmie postać
proporcjonalna do prędkości, a więc, że mamy do czynienia z
tzw. tłumieniem wiskotycznym'3 ] stała tłumienia), (2.16)
X = As (vt + 8).
2
kx sila sprężystości belki, k = - współczynnik sprężystości
3
belki z Porównując rozwiązanie (2.16) z prawą stroną równania (2.12), możemy
siÅ‚a wymuszajÄ…ca ej opis podano w punkcie 4.2 ćwi­ zauważyć, że drgania wymuszone belki majÄ… ten sam okres co siÅ‚a wymusza­
czenia). jąca, są tylko przesunięte względem niej o kąt fazowy 8. Nowe stałe A i a
=
Oznaczając przez P 2ml e siłę masową p y v = 1 i dzieląc równanie są związane ze stałymi D i B p ez następujące zależności:
(2.11) p ez m" otrzymujemy
P P
.
i + 2 + żÿx = - v 2smvt, (2.12) A =
(2.17)
m m,
,
- v2? + 4h2v2
gdzie:
h - względny współczynnik tłumienia,
B 2hv
tg a (2.18)
.
D
żÿ _ v2
0 = - - częstość drgań własnych układu
m
,
R
WprowadzajÄ…c oznaczenie x = I
p

Równanie (2.12) jest równaniem różniczkowym liniowym niejednor nym
belki wywołanym statycznym działaniem siły poprzecznej równej amplitudzie
(z prawą stroną różną od zera). Rozwiązanie ogólne takiego równania jest
0
siły wymuszającej przy v = ' o zymamy nowe wyrażenie na amplitudę
sumą całki ogólnej X będącej rozwiązaniem równania jednor nego (z prawą
l
drgań wymuszonych
stroną równą zeru) oraz dowolnej całki szczególnej x dącej rozwiązaniem
2
.
. . . - . .
równania niejednorodnego (2.12).
(2.19)
, Rozwiązanie Xl p edstawia sobą drgania swobodne układu' z tłu ieniem,
które nie wymuszane żadną sila zewnętrzną po pewnym czasie zanikają. Czas
gdzie:
z tych drgaÅ„ zależy od intensywnoÅ›ci tÅ‚umienia. Potem wystÄ™pujÄ… je­
ia
v
- stosunek częstości siły wymuszającej do częstości drgań
n
dynie drgania opisane rozwiÄ…zaniem ' dÄ…ce rezultatem dziaÅ‚ania siÅ‚y wy­
0
,'własnych,
muszającej. Postać całki szczególnej zależy od r zaju nkcji po prawej
stronie równania (opisujÄ…cej siÅ‚Ä™ wymuszajÄ…cÄ…). W przypadku przewidu­
"
y = - bezwymiarowy współczynnik tłumienia.
jemy ją w postaci następującej
(2.13)
, x2 = Współczynnik· nazywamy 'wsp6Å‚czynnikiem uwielokrotnienia amplitudy,
D s v t + B cos vt. ..
zaś zależność = fen) ywą rezonansową. Przebieg krzywej rezonansowej
RóżniczkujÄ…c i wstawiajÄ…c odpowiednie p6chżÿne' tego różwiÄ…zania do
dla wymuszenia bezwładnościowego p edstawiono na rys. 2.3.
równania (2.12), otrzyżÿamy równanie, które musi być tożsamoÅ›ciÄ… wzglÄ™dem
Z przebiegu krzywych rezonansowych sporządzonych dla różnych wartości
czasu. Warunek ten pozwala na wyznaczenie stałych D i B. Wyrażać się one
jest tym większe, im mniejsze jest tłumienie y,
tłumienia wynika że
,
m
będą następująco:
a wyrazny rezonans zachodzi dla y < 0,5.
D
Analiza przebiegu krzywych rezonansowych pozwala na wyznaczenie
czÄ™stoÅ›ci wÅ‚asnej ukÅ‚adu drgajÄ…cego, a nastÄ™pnie masy zredukowanej. Wielko­
(2 1 )
. 4
Å›ci te można również wyznaczyć na p stawie analizy przebiegu drgaÅ„ swo­
B b nych tłumionych ukladu. Analizę teoretyczną lego zagadnienia p eprowa-
'
-Izono w ćwiczeniu 4.
22

3 "
5
=O
"
5
3
z
0,5
=
O
",
=
żÿ
Rys. 2.4. Schemat stanowiska
o
5 1,0 Z,O Z,5 3,0

Amplituda siły wymuszającej nie jest stała, lecz zmienia się proporcjonałnie
Rys. 2.3. Przebiegi k ywych rezonansowych dla wa ości tłumienia
do kwadratu prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej. Jest to charakterystyczna wÅ‚ ciwość tego ro­
dzaju wymuszenia, zwanego muszeniem bezwÅ‚ noÅ›cio m. NaÅ‚eży podkreÅ›­
lić, że taki rodzaj wymuszenia jest bardzo czÄ™sto spotykany praktyce. Wszel­
2.2. Opis stanowiska kiego rodzaju maszyny wi ikowe sÄ… narażone na drgania, ponieważ ich wirujÄ…­
ce elementy posiadają zawsze pewne niewyważenie będąc z
r Å‚em powstawa­
nia okresowej siły wymuszającej leżnej od kwadratu p dkości obrotowej.
Schemat stanowiska p edstawiono na rys. 2:4. Składa się ono z następują-
.
cych zespołów:
l. Belki s lowej l utwierdzonej jednym końcem w p stawie.
2. UkÅ‚adu wymuszajÄ…cego, który stanowiÄ… dwa nie wyważone koÅ‚a zÄ™ba­
l'
i
te 2 oraz silnik napędzający 3.
3. mika olejowego 5.
,
4. Układu rejestrującego 6 służącego do rejestracji p ebiegu drgań belki
z wyko ystaniem tensometrów 4. Szczegółowy opis tego układu podano
w ćwiczeniu 4.
Wskutek wirowania nie wyważonych kół zębatych powstają siły masowe
F m a v2e
"
Rys. 2.5. Schemat zes u wymuszajÄ…cego
gdzie:
ma -masa elementu nie wyważonego każdego z kół,
v - prędkość kątowa siły wymuszającej,"
e - ramię niewyważenia.
2.3. Przebieg ćwiczenia
Jak widać na rys. 2.5, składowe poziome sił znoszą się. Składowe pionowe
natomiast sumują się i działając pop ecznie do osi belki wywołują drgania.
Z sumowania tego wynika, że na belkę działa 'okresowo zmienna siła o wartości
l. Włączyć silanie mostka tensometrycznego i rejes atora.
2. Dobrać wielkość wzmocnienia w mostku i w rejestratorze oraz ustawić
p 2mlv2esinżÿt:
centralne położenie pisaka rejestratora. W tym celu dokonać próbnych rejestra-
24
cji przebiegu drgaÅ„ swobodnych przy maÅ‚ym tÅ‚umieniu. Tak ustawić wzmoc­
nienia przyrządów pomiarowych, aby p y maksymalnym wychyleniu belki
pisak rejestratora nie wychylał się poza krańcowe linie papieru w rejestratorze.
Pisak rejestratora ustawić w takim poÅ‚ożeniu, aby po wytÅ‚umieniu drgaÅ„ znaj­
dował się na linii środkowej papieru rejestratora.
3. Wybrać wielkość tłumienia pop ez odpowiednie ustawienie tarczek
w tłumiku.
4. Zarejestrować drgania swobodne układu. W tym celu należy wychylić
belkę z położenia równowagi o ok. 4 cm, a następnie puścić ją swobodnie.
5. Zarejestrować p ebiegi drgań wymuszonych przy różnych wartościach
czÄ™stoÅ›ci wymuszenia. PrÄ™dkość należy zmieniać od najmniejszej do wy­
raz
nego przejścia przez rezonans. Po każdej zmianie prędkości należy chwilę
odczekać aż prędkość ustali się.
2.4. Treść sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
l) schemat i opis stanowiska badawczego,
2) taśmę z zarejestrowanymi p ebiegami drgań,
3) wykresy krzywych rezonansowych - teoretycznej i doświadczalnej,
obliczenia parame ów układu drgającego
4)
- sztywności k,
- masy zredukowanej m"
- ws łczynni a tłumienia h,
- częstości własnej O'
5) porównanie wyni ów uzyskanych doświadczalnie i teoretycznie.
LI RATURA· :
[J] P i s z c z e k K., Wal c z a k J.: Drgania w budowie maszyn. Warszawa, PWN, 1972.
[2] S c a n J a n R., R o s e n b a u m R.: Drgania i flatter samolotów. Warszawa, PWN 19 .