5 Badanie drgań wahadeł sprzężonych

Ć w i c z e n i e 5
BADANIE DRGAC UKAADU DWÓCH
SPRZŻONYCH WAHADEA
5.1. Opis teoretyczny
Aby rozpatrzyć zachowanie dwóch sprzężonych identycznych wahadeł należy przyswoić
podstawowe wiadomości dotyczące pojedynczego wahadła matematycznego oraz fizycznego,
co można znalezć w ćwiczeniu Nr 4.
Ruch układu opiszemy współrzędnymi �1 ,�2 , czyli kątami wychylenia obu wahadeł od
położenia równowagi.
a
l
k
�1
�2
m
Rys.5.1. Dwa identyczne wahadła, gdzie masa m zawieszona na nieważkim pręcie o
długości l i sprzężone za pomocą sprężyny o stałej k w odległości a od miejsca
zawieszenia.
Aby napisać równania ruchu skorzystamy z zasady najmniejszego działania zwanej często
zasadą Hamiltona. Aby wyznaczyć funkcję Lagrange a L=T-V określimy energię kinetyczną
T i potencjalną V układu.
Energia kinetyczna układu równa się sumie energii kinetycznych obu mas w ruchu po okręgu
o promieniu równym długości wahadeł ze zmienną w czasie prędkością kątową.
�ł�ł 2 �ł �ł2
1 d�1 d�2 łł
T = ml2 �ł + (5.1)
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
2 dt
�ł�ł łł �ł dt łł śł
�ł �ł
Energia potencjalna wynika ze zmiany położenia mas w polu grawitacyjnym oraz ze zmiany
rozciągnięcia sprężyny sprzęgającej o stałej sprężyny k.
2
mgl ka2
2
2 2
V = (�1 + �2 )+ (�1 - �2 ) (5.2)
2 2
Z zasady najmniejszego działania otrzymujemy układ 2 równań różniczkowych:
�ł �ł
d "L "L d�k
�ł �ł - = 0 gdzie: �k = ; dla k=1,2 (5.3)
�ł
dt "�k �ł "�k dt
�ł łł
Stąd otrzymujemy układ równań różniczkowych tzw. równania ruchu:
2
d �1 2 2
2
+(�11 +�12)�1 -�12 �2 = 0 (5.4)
dt2
2
d �2 2 2
2
+(�11 +�12)�2 -�12 �1 = 0 , (5.5)
dt2
g ka2
2 2
gdzie: �11 = ; �12 =
l ml2
Przewidujemy całki szczególne układu równań w formie:
�1(t) = ą1 sin(� t + �1) (5.6)
�2 (t) = ą2 sin(� t + �2 ) (5.7)
Podstawiając przewidywane całki szczególne (5.6) i (5.7) do równań ruchu (5.4) i (5.5)
uzyskujemy układ równań dla amplitud :
2 2 2
(�11 +�12 -�2)ą1 -�12 ą2 = 0 (5.8)
2 2 2
-�12 ą1 +(�11 + �12 -�2)ą2 = 0 (5.9)
Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań układu równań (5.8) (5.9) jest, aby wyznacznik
charakterystyczny był równy zero.
2 2 2
�11 + �12 - �2 �12
= 0 (5.10)
2 2 2
- �12 �11 + �12 - �2
Rozwijając uzyskuje się równanie kwadratowe typu ax2 + bx + c = 0 w postaci:
2
2 2 2 2 4
�4 - 2(�11 +�12)�2 +(�11 + �12) -�12 = 0 (5.11)
uzyskuje się dwa rozwiązania na częstości drgań własnych zwanych normalnymi układu:
g g ka2
2 2 2 2 2
�1 = �11 = ; �2 = �11 + 2�12 = + 2 (5.12)
l l ml2
Można wykazać, że najbardziej ogólny ruch układu o dwóch stopniach swobody, jakim są
wahadła sprzężone, stanowi superpozycja czyli złożenie dwóch niezależnych jednoczesnych
ruchów harmonicznych. Te ruchy nazywamy drganiami normalnymi lub własnymi danego
układu. Dobierając odpowiednio warunki początkowe czyli położenie wahadeł i ich prędkości
w chwili początkowej (t=0) można doprowadzić, że układ będzie wykonywał drgania
normalne tylko jednej lub drugiej postaci. Do właściwości drgań normalnych należy to, że
każdy z elementów układu porusza się prostym ruchem harmonicznym, wszystkie elementy
oscylują z tą samą częstotliwością �1lub �2 i jednocześnie mijają położenie równowagi czyli
mają identyczne przesunięcie fazowe.
Postaciami drgań nazywamy wszystkie całki szczególne rozwiązań czyli:
�11(t) = ą11 sin(�1 t + �1) �12(t) = ą12 sin(�2 t + �2) (5.13)
�21(t) = ą21 sin(�1 t + �1) �22 (t) = ą22 sin(�2 t + �2 ) (5.14)
Amplitudy przy tych samych częstościach wiąże układ równań dla amplitud drgań własnych
(5.8), (5.9). Z układu określa się współczynniki rozkładu:
2 2 2 2 2 2
ą11 �11 + �12 - �1 ą12 �11 + �12 - �2
= �1 = = 1 = �2 = = -1 (5.15)
2 2
ą21 �12 ą22 �12
Zatem drgania swobodne układu wahadeł można opisać rozwiązaniami ogólnymi w formie
układu równań:
�1(t) = ą11 sin(�1 t + �1) +ą12 sin(�2 t + �2 ) (5.16)
�2 (t) = ą11 sin(�1 t + �1) -ą12 sin(�2 t + �2 ) (5.17)
Rozpatrzmy kilka różnych warunków początkowych zilustrowanych schematycznie na
Rys 5.2
a) b) c)
Rys. 5.2. Schematy sprzężenia dla różnych warunków początkowych
Ad a) �1(0) = �2(0) = �0 �1(0) = �2(0) = 0 (5.18)
Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:
ą11 = �0 ą12 = 0 �1 = �2 = Ą / 2 (5.19)
Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:
�1(t) = �2 (t) = �0 cos(�1 t) (5.20)
Przy wychyleniu obu wahadeł o te same kąty �1(0) = �2(0) = �0 i puszczeniu tj. pobudzeniu
bez prędkości początkowej �1(0) = �2(0) = 0 oba wahadła czyli układ będzie drgał z
częstością pierwszego drgania normalnego �1 według wzoru 5.12. Amplituda drgań
określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj. �0
Ad b) �1(0) = �0 �2(0) = -�0 �1(0) = �2(0) = 0 (5.21)
Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:
ą11 = 0 ą12 = �0 �1 = �2 = Ą / 2 (5.22)
Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:
�1 (t) = -�2 (t) = �0 cos(�2 t) (5.23)
Przy wychyleniu jednego wahadeł o kąt �1(0) = �0 zaś drugiego o kąt �2(0) = -�0 i
puszczeniu tj. pobudzeniu bez prędkości początkowej �1(0) = �2(0) = 0 oba wahadła czyli
układ będzie drgał z częstością drugiego drgania normalnego �2 określonego wzorem (5.12).
Amplituda drgań określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj. �0 .
Ad c) �1(0) = �0 �2(0) = 0 �1(0) = �2(0) = 0 (5.24)
Wstawiając do równania (5.16) i (5.17) uzyskuje się:
�0
ą11 = ą12 = �1 = �2 = Ą / 2 (5.25)
2
Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:
�2 - �1 �1 + �2
�łcos�ł �ł
�1(t) = �0 cos�ł t t (5.26)
�ł �ł �ł �ł
2 2
�ł łł �ł łł
�2 - �1 �1 + �2
�łsin�ł �ł
�2(t) = �0 sin�ł t t (5.27)
�ł �ł �ł �ł
2 2
�ł łł �ł łł
Przy wychyleniu jednego z wahadeł o kąt �1(0) = �0 zaś pozostawienie drugiego w położeniu
równowagi �2(0) = 0( brak wychylenia) i puszczeniu tj. pobudzeniu układu bez prędkości
początkowej �1(0) = �2(0) = 0 każde z wahadeł wykonuje drgania z częstością
�1 + �2
�śr = (5.28)
2
równą średniej arytmetycznej częstości drgań normalnych.
Amplitudy drgań obu wahadeł są różne i zależne od wychylenia początkowego
�1(0) = �0 oraz od częstości modulacji:
�2 - �1
�mod = (5.29)
2
Zatem maksymalnemu wychyleniu jednego z wahadeł odpowiada minimalne wychylenie
drugiego.
Widzimy, że drgania tego typu mają charakter dudnień o częstotliwości �d , zaś okres
dudnień Td , przy czym:
2Ą
�d = �2 - �1 Td = (5.30)
�2 - �1
W1
1
0.5
t
1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
W2
1
0.5
t
1 2 3 4 5 6
-0.5
-1
Rys. 5.5 Na rysunku górnym przedstawiono zależność W1(t) =�1(t) /�0 Rysunek dolny
przedstawia W2(t)=�2 (t) /�0 . Obwiednie stanowią zależności od czasu unormowanej
amplitudy drgań wahadła pierwszego i drugiego odpowiednio.
5.2. Opis układu pomiarowego
W skład układu służącego do badania zjawiska sprzężenia dwóch wahadeł wchodzą -dwa
identyczne wahadła fizyczne, z których każde złożone jest z walca o masie mw=2.33ą0.01 kg
i długości lw=0.11ą0.01m oraz przytwierdzonego do niego i zaopatrzonego w podziałkę
milimetrową pręta o masie mr=0.404ą0.01 kg i długości lr=0.82ą0.01m. W górnej części pręt
posiada konwencjonalne zawieszenie zrealizowane za pomocą metalowej krawędzi
pryzmatycznej,
- sprężyna sprzęgająca wahadła z możliwością zmiany jej punktu zamocowania,
- stoper do pomiaru czasu określonej liczby wahnięć.
Takie wahadło fizyczne do celów obliczeń zamodelujemy wahadłem matematycznym o masie
m=mw+mr umieszczonej w środku ciężkości wahadła fizycznego. Jak łatwo zauważyć długość
takiego wahadła matematycznego wynosi:
0.5 lr mr + (0.5 lw + lr ) mw
l = (5.31)
mr + mw
5.3. Przebieg ćwiczenia
1. Zmierzyć czas 10 wahnięć pojedynczego wahadła bez sprzężenia,
2. Dokonać sprzężenia wahadeł za pomocą sprężyny w odległości s= 20 cm od osi wahadeł,
3. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje pierwsze drgania
normalne (Rys. 5.2 a).
4. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje drugie wahanie
normalne ( Rys. 5.2 b).
5. Zmierzyć czas 2 dudnień, gdy układ jest sprzężony jak poprzednio zaś pobudzony do
drgań przez jedno z wahadeł ( Rys. 5.2 c).
6. Pomiary według punktów 3-5 powtórzyć dla a od 30cm do 60 cm co 5 cm.
5.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Obliczyć okresy drgań własnych (bez sprzężenia),jako średnią arytmetyczną uzyskanych
wyników pomiarów.
2. Obliczyć okresy dla pierwszego i drugiego drgania normalnego przy różnych
sprzężeniach, jako średnią arytmetyczną uzyskanych wyników pomiarów dla
poszczególnych sprzężeń.
3. Obliczyć okresy dudnień przy różnych sprzężeniach.
4. Obliczyć częstości drgań i dudnień uwzględniając, że � = 2 Ą /T
5. Sprawdzić słuszność relacji teoretycznej �d = �2 - �1 , obliczając prawą stronę równania i
porównując ją ze stroną lewą.
2
6. Wykonać wykres �2 = f (a2 ) . Jak widać z zależności (5.12) powinna to być linia prosta
typu:
y = Ax + B (5.32)
g 2 k
2
gdzie: y = �2 , B = , A = , x = a2
l m l2
Aproksymacji dokonać metodą najmniejszych kwadratów opisaną w rozdziale
Metoda najmniejszych kwadratów .
7. Wykorzystując uzyskane parametry prostej (5.32) wyznaczyć stałą sprężyny k.
8. Obliczyć niepewności uzyskanych rezultatów.
9. Przedstawić wnioski odnośnie uzyskanych rezultatów.
L i t e r a t u r a
[1] Bartnicki S. Borys W. Kostrzyński T. Fizyka ogólna Ćwiczenia laboratoryjne, Skrypt
WAT
[2] Demianiuk M., Wykłady z fizyki dla inżynierów, Skrypt WAT

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Badanie drgan
cw4 badanie drgan skretnych
2) Badanie drgań na płaszczyźnie fazowej ogarnijtemat comid!046
3) Badanie drgań giętnych belki przy wymuszeniu bezwładnościowym ogarnijtemat com
badanie drgan tłumionych
badanie drgan tłumionych
9 Badanie drgań harmonicznych tłumionych w układach mechanicznych i elektrycznych

więcej podobnych podstron