WYKŁAD 04 PL


MOBILNE ROBOTY KOAOWE
WYKAAD 04  DYNAMIKA Maggie
dr inż. Tomasz Buratowski
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Robotyki i Mechatroniki
Modelowanie dynamiki dwu-kołowego
robota mobilnego
W modelowaniu dynamiki robotów mobilnych często
używamy równań Lagrange a II typu z mnożnikami oraz
równań Maggie go który bazuje na równaniach Lagrange a
Równania Maggie go pozwalają pominąć transformacje
odsprzęgającą, dzięki temu, że liczba uogólnionych
współrzędnych jest równa ilości stopni swobody
Przyjrzyjmy się zatem bliżej równaniom Maggie go.
2
Modelowanie dynamiki dwu-kołowego
robota mobilnego
Ogólna postać równań Maggie go:
n
ł
ć ć
C ę d śE - śE ś = Qi
ij
(4.1)
&
j=1
ędt śq śq ś
j j
Ł ł Ł ł

gdzie s opisuje liczbę niezależnych parametrów systemu w
uogólnionych współrzędnych odpowiadając liczbie stopni swobody
Uogólnione prędkości mają postać:
s
(4.2)
& &
qj =
C ei + Gj
ij
i=1
&
W równaniu (4.2) jest nazywane charakterystykami lub
ei
parametrami kinematycznymi systemu w uogólnionych
3
współrzędnych.
Modelowanie dynamiki dwu-kołowego
robota mobilnego
Prawe strony równania (4.1) to współczynniki przy
wariacjach dei w wyrażeniu na pracę przygotowaną sił
zewnętrznych układu i zdefiniowano jako:
s s n
(4.3)
Q dei = de C Qj
i i ij
i=1 i=1 i=1
Wyrażenie (4.1) w postaci macierzowej:
n
(4.4)
C Lj = Qi
ij
j=1
&& & &
gdzie: L = M (q)q + C(q,q)q
4
Modelowanie dynamiki- Maggie
Do obliczeń symbolicznych przyjęto wektor
współrzędnych uogólnionych i zapisano go w postaci:
(4.5)
q = [xA , yA , b,a1,a2 ]T
Energia kinetyczna systemu bez uwzględnienia masy
koła podpierającego:
&]xA
& &
Ek = [(m1 + m2 + m4)xA + ((m1 - m2)l1 cos(b ) + m4l2 sin(b ))b +
(4.6)
&]yA
& &
[(m1 + m2 + m4)yA + ((m1 - m2)l1 sin(b ) - m4l2 cos(b ))b +
& &
[((m1 - m2)l1 cos(b ) + m4l2 sin(b ))xA + ((m1 - m2)l1 sin(b ) - m4l2 cos(b ))yA +
2
&]b
&
& & & &
+ ((m1 + m2)l12 + Ix1 + Ix2 + Iz4 + m4l2 )b +[Iz1a1]a1 +[Iz2a2]a2
5
Modelowanie dynamiki- Maggie
Uwzględniając masę koła podpierającego energia została
rozszerzona do postaci:
1
&2 1 &2 &
Ek = (m1 + m2 + m3 + m4)xA + (m1 + m2 + m3 + m4)yA + (((m1 - m2)l1 cos(b ) + (m3l5 + m4l2)sin(b ))xA +
2 2
1
2 2 2
&)b
&
&
+ ((m1 - m2)l1 sin(b ) - (m3l5 + m4l2) cos(b )) yA + (Ix1 + m1l12 + Ix2 + m2l1 + Ix3 + m3l5 + Iz4 + m4l2 )b +
2
2 2 2 2 2
& & & &
1 1 Ix3l1bb&vA 1 Ix3l1 b&2vA 1 Iz3(vA + l1 b )
2 2
(4.7)
& &
+ Iz1a1 + Iz2a2 + + +
2 2 2 2 2 2
& &
2 2 vA + l1 b 2 (vA + l1 b )2 2 r32
6
Modelowanie dynamiki- Maggie
W analogiczny sposób jak przy równaniach Lagrange a
wyznaczono macierz bezwładności (bez koła
podpierającego):
2m1 + m4 0 m4l2 sin(b ) 0 0
ł
ę ś
0 2m1 + m4 - m4l2 cos(b ) 0 0
ę ś
2
ę ś
M = m4l2 sin(b ) - m4l2 cos(b ) 2m1l12 + 2Ix1 + Iz4 + m4l2 0 0 (4.8)
ę ś
0 0 0 Iz1 0
ę ś
ę
0 0 0 0 Iz1ś

7
Modelowanie dynamiki- Maggie
(z kołem podpierającym):
2m1 + m3 + m4 0 (m3l5 + m4l2)sin(b ) 0 0
ł
ę ś
0 2m1 + m3 + m4 - (m3l5 + m4l2)cos(b ) 0 0
ę ś
2 2
ę ś
M = (m3l5 + m4l2)sin(b ) - (m3l5 + m4l2)cos(b ) 2m1l12 + 2Ix1 + 2Iz1h2 + Iz4 + m4l2 + Ix3 + m3l5 + %1 0 0
ę ś
0 0 0 Iz1 0
ę ś
ę
0 0 0 0 Iz1ś

3 2 5 4 4 2 2 6 4 2 2
& & & &
Ix3l1vA 8Ix3l1 b vA 8Ix3l1 b vA - 6Ix3l1 b vA 12Ix3l1 b vA Iz3l1
%1 = + + +
(4.9)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
&2 - 2 2 & & &
vA + l1 b (vA + l1 b )2 (vA + l1 b )3 (vA + l1 b )4 r32
8
Modelowanie dynamiki- Maggie
Macierz sił Coriolisa i siły odśrodkowej (bez koła
podpierającego):
&
ł
0 0 m4l2b cos(b ) 0 0
ę ś
&
ę0 0 m4l2b sin(b ) 0 0ś
ę0 0
(4.10)
C =
0 0 0ś
ę ś
0 0 0ś
ę0 0
ę0 0
0 0 0ś

(z kołem podpierającym):
&
ł
0 0 (m3l5 + m4l2)b cos(b ) 0 0
ę ś
&
(m3l5 + m4l2)b sin(b ) 0 0ś
ę0 0
6 5 2 4 4 3 2 4 2 6 3
&6 & & & &
ę - (l1 b + (12l1 vA -13vAl1 )b - (30l1 v3 + 5l1 vA)b + 6l1v5 + 9vA)b&bIx3l1 v3 ś
A A A
C =
0 0ś
ę0 0 2 2 2
&
(vA + l1 b )5
ę ś
0 0 0ś
ę0 0
ę0 0
0 0 0ś

(4.11)
9
Modelowanie dynamiki- Maggie
Przy wyznaczeniu sił zewnętrznych działających na
układ, należy uwzględnić nieznane siły tarcia. Rozkład sił
tarcia prezentuje poniższy rysunek:
10
Modelowanie dynamiki- Maggie
Siły uogólnione dla modelu bez koła podpierającego:
Q1 = T1,0 cos(b ) -T1,P sin(b ) + T2,0 cos(b ) -T2,P sin(b )
Q2 = T1,0 sin(b ) + T1,P cos(b ) + T2,0 sin(b ) + T2,P cos(b )
Q3 = T1,0l1 -T2,0l1
(4.12)
&
Q4 = M1 - N1 f1 sgn(a1) -T1,0r
&
Q5 = M2 - N2 f2 sgn(a2) -T2,0r
Dla systemu z kołem:
&
N3 f3 sgn(a3)
Q1 = T1,0 cos(b ) -T1,P sin(b ) + T2,0 cos(b ) -T2,P sin(b ) -
r3
&
N3 f3 sgn(a3)
Q2 = T1,0 sin(b ) + T1,P cos(b ) + T2,0 sin(b ) + T2,P cos(b ) -
r3
(4.13)
Q3 = T1,0l1 -T2,0l1
&
Q4 = M1 - N1 f1 sgn(a1) -T1,0r
&
Q5 = M2 - N2 f2 sgn(a2) -T2,0r
11
Modelowanie dynamiki- Maggie
Prędkości uogólnione na podstawie zależności (4.2):
1 1
& & & &
q1 = xA = re1 cos(b ) + re2 cos(b )
2 2
1 1
& & & &
q2 = yA = re1 sin(b ) + re2 sin(b )
(4.14)
2 2
1 r 1 r
&
& & &
q3 = b = e1 - e2
2 l1 2 l1
& & &
q4 = a1 = e1
& & &
q5 = a2 = e2
12
Modelowanie dynamiki- Maggie
Współczynniki Cij i Gj z zależności (4.2):
1 1
C11 = r cos(b ),C21 = r cos(b ),G1 = 0
2 2
1 1
C12 = r sin(b ),C22 = r sin(b ),G2 = 0
2 2
(4.15)
1 r 1 r
C13 = ,C22 = - ,G3 = 0
2 l1 2 l1
C14 = 1,C24 = 0,G4 = 0
C15 = 0,C25 = 1,G5 = 0
13
Modelowanie dynamiki- Maggie
Ostatecznie wykorzystując zależności przedstawione
poprzednio i wyrażenie (4.4) możemy zapisać równania
Maggie go dla naszego systemu (bez koła podpierającego)
2 2
(r2m4l12 + 4r2m1l12 + 2r2Ix1 + 4Iz1l12 + r2Iz4 + r2m4l2 ) (r2m4l12 - r2m4l2 - 2r2Ix1 - r2Iz4) r3m4l2 & & r3m4l2 & 2
&& &&
a1 + a2 - a1a2 + a2 =
4l12 4l12 4l12 4l12
&
= M1 - N1 f1 sgn(a1)
2 2
(r2m4l12 + 4r2m1l12 + 2r2Ix1 + 4Iz1l12 + r2Iz4 + r2m4l2 ) (r2m4l12 - r2m4l2 - 2r2Ix1 - r2Iz4) r3m4l2 & & r3m4l2 & 2
&& &&
a2 + a1 - a1a2 + a1 =
4l12 4l12 4l12 4l12
&
= M2 - N2 f2 sgn(a2)
(4.16)
14
Modelowanie dynamiki- Maggie
(4.17)
(z kołem podpierającym) - część 1
2
&& & & & & & && && && && &
r2(2m3l12a1 + m4l12ra2 + m3l5ra2 - (2m3l5r + 2m4l2r)a1a2 + m3l5ra12 + 2m4l12a2 + 2m4l12a1 + 2m3l12a2 + 4m2l12a2 + m4l2ra12)
+
8l12
r(a1 -a2)
2
(a2 -a12)sin( )r2
r r(a1 -a2) r(a1 -a2) 1 r(a1 -a2) 2l1
&& &&
+ (((m1 - m2)cos( )l1 + (m4l2 + m3l5)sin( ))( (a1 +a2)cos( )r + ) +
2 2l1 2l1 2 2l1 4l1
r(a1 -a2)
2
(a12 -a2 )cos( )r2
r(a1 -a2) r(a1 -a2) 1 r(a1 -a2) 2l1
&& &&
+ ((m1 - m2)sin( )l1 - (m4l2 + m3l5)cos( ))( (a1 +a2)sin( )r + ) +
2l1 2l1 2 2l1 4l1
2 2
& & & &
1 Iz3l12 6Ix3l12r2(a1 -a2)2vA 12Ix3l12r4(a1 -a2)4vA Ix3l1vA
2 2
+ (Ix1 + m2l12 + Iz4 + Ix3 + m4l2 + Ix2 + m1l12 + m3l5 + - + + +
2l1 r32 r2 & & r2 & & r2 & &
2 2 2
4(vA + (a1 -a2)2)3 16(vA + (a1 -a2)2)4 vA + (a1 -a2)2
4 4 4
r6 & & r4 & &
2
(a1 -a2) + (12l1vA -13vA) (a1 -a2)4
& & & &
8Ix3l1r2(a1 -a2)2vA 8Ix3l1r4(a1 -a2)4vA 1
64 16
& & && &&
- + )r - Ix3vAr3(a1 -a2)2(a1 -a2)( +
r2 & & r2 & & 8 r2 & &
2 2 2
4(vA + (a1 -a2)2)2 4(vA + (a1 -a2)2)3 (vA + (a1 -a2)2)5
4 4 4
r r
r2 & &
2 6
&
(cos( (a1 -a2)) + sin( (a1 -a2)))rN3 f3 sgn(a3)
(30l1v3 + 5vA) (a1 -a2)2 + 6l1v5 + 9vA
A A
2l1 2l1
2
&& &
- ) + Iz1a1 = M1 - N1 f1 sgn(a1) -
r2 & & 2r3
2
(vA + (a1 -a2)2)5
15
4
Modelowanie dynamiki- Maggie
(4.18)
(z kołem podpierającym) - część 2
2
&& & & & & & && && && && &
r2(2m3l12a1 + m4l12ra2 + m3l5ra2 - (2m3l5r + 2m4l2r)a1a2 + m3l5ra12 + 2m4l12a2 + 2m4l12a1 + 2m3l12a2 + 4m2l12a2 + m4l2ra12)
+
8l12
r(a1 -a2)
2 2
(a2 -a1 )sin( )r2
r r(a1 -a2) r(a1 -a2) 1 r(a1 -a2) 2l1
&& &&
- (((m1 - m2)cos( )l1 + (m4l2 + m3l5)sin( ))( (a1 +a2)cos( )r + ) +
2 2l1 2l1 2 2l1 4l1
r(a1 -a2)
2 2
(a1 -a2 )cos( )r2
r(a1 -a2) r(a1 -a2) 1 r(a1 -a2) 2l1
&& &&
+ ((m1 - m2)sin( )l1 - (m4l2 + m3l5)cos( ))( (a1 +a2)sin( )r + ) +
2l1 2l1 2 2l1 4l1
2 2
& & & &
1 Iz3l12 6Ix3l12r2(a1 -a2)2vA 12Ix3l12r4(a1 -a2)4vA Ix3l1vA
2 2
+ (Ix1 + m2l12 + Iz4 + Ix3 + m4l2 + Ix2 + m1l12 + m3l5 + - + + +
2l1 r32 r2 & & r2 & & r2 & &
2 2 2
4(vA + (a1 -a2)2)3 16(vA + (a1 -a2)2)4 vA + (a1 -a2)2
4 4 4
r6 & & r4 & &
2
(a1 -a2) + (12l1vA -13vA) (a1 -a2)4
& & & &
8Ix3l1r2(a1 -a2)2vA 8Ix3l1r4(a1 -a2)4vA 1
64 16
& & && &&
- + )r - Ix3vAr3(a1 -a2)2(a1 -a2)( +
r2 & & r2 & & r2 & &
2 2 2
4(vA + (a1 -a2)2)2 4(vA + (a1 -a2)2)3 8 (vA + (a1 -a2)2)5
4 4 4
r r
r2 & &
2
&
(cos( (a1 -a2)) + sin( (a1 -a2)))rN3 f3 sgn(a3)
(30l1v3 + 5vA) (a1 -a2)2 + 6l1v5 + 9v6
A A A
2l1 2l1
2
&& &
- ) + Iz2a2 = M2 - N2 f2 sgn(a2) -
r2 & & 2r3
2
(vA + (a1 -a2)2)5
16
4
Symulacja dynamiki - Maggie
W celu przeprowadzenie symulacji problemu odwrotnego
dynamiki dla równań Maggie go, został przygotowany
odpowiedni model (bez koła podpierającego):
17
Symulacja dynamiki - Maggie
(z kołem podpierającym) dodatkowo na wejście została
dodana prędkość kątowa koła podpierającego
18
Symulacja dynamiki - Maggie
Momenty napędzające otrzymane z równań Maggie go
(bez koła podpierającego):
M1 [Nm]
M2 [Nm]
19
Symulacja dynamiki - Maggie
Momenty napędzające otrzymane z równań Maggie go (z
kołem podpierającym):
M1 [Nm]
M2 [Nm]
20
Symulacja dynamiki - Maggie
Prosty problem dynamiki z wykorzystaniem równań
Maggie go:
21
Symulacja dynamiki - Maggie
Kąt obrotu dla kół 1 i 2
a1 [rad]
a2 [rad]
22
Symulacja dynamiki - Maggie
Prędkości kątowe dla kół 1 i 2

a1 [rad/s]

a2 [rad/s]
23
Symulacja dynamiki - Maggie
Kąt obrotu dla kół 1 i 2 (ruch po prostej)
a1 [rad]
a2 [rad]
24
Symulacja dynamiki - Maggie
Prędkości kątowe dla kół 1 i 2 (ruch po prostej)

a1 [rad/s]

a2 [rad/s]
25
Pomiary eksperymentalne
W celu sprawdzenia poprawności modelu
matematycznego zostały przeprowadzone odpowiednie
pomiary. Użyto do nich robota Pioneer2DX oraz komputera
PC wyposażonego w kartę pomiarową Dispace oraz pakiet
Matlab/Simulink. Wyniki zostaną zaprezentowane na
kolejnych slajdach.
26
Pomiary eksperymentalne
Momenty napędzające dla ruchu po prostej
M1 [Nm]
M2 [Nm]
27
Pomiary eksperymentalne
Kąt obrotu i prędkości kątowe dla kół 1 i 2 (ruch po
prostej)
28
Pomiary eksperymentalne
Momenty napędzające dla ruchu po prostej z
zakłóceniem parametrycznym
M1 [Nm]
M2 [Nm]
29
Pomiary eksperymentalne
Kąt obrotu oraz prędkości kątowe kół 1 i 2 (ruch po
prostej) z zakłóceniem parametrycznym
a1 [rad]
a2 [rad]
30
Pomiary eksperymentalne
Momenty napędzające dla ruchu po łuku
31
Pomiary eksperymentalne
Kąt obrotu oraz prędkości kątowe dla kół 1 i 2 (ruch po
łuku)
32
Pomiary eksperymentalne
Momenty napędzające dla ruchu po łuku z
parametrycznym zakłóceniem
33
Pomiary eksperymentalne
Kąt obrotu oraz prędkości kątowe dla kół 1 i 2 (ruch po
łuku) z parametrycznym zakłóceniem
34
DZIKUJ ZA UWAG


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad pl sql7
WYKŁAD PL
WYKŁAD PL
wyklad pl sql8
Wyklad 7 Nieparametryczne metody statystyczne PL [tryb zgodności]
notatek pl wyklad 3 model krazenia odpadow wyklad
04 PL wyklad
notatek pl zarzadzanie jakoscia dr janusz niezgoda wyklady
notatek pl chemia budowlana wyklady
Przestrzenie zakrzywione(Feynmana wyklad 44 z tomu drugiego)(osiolek pl)
notatek pl wyklad 5 planowanie przestrzenne wyklad
02 PL wyklad
562 pl wyklady z dnia lutego 11
Wyklad 8 iloczyn rozpuszczalnosci,koloidy antastic pl
notatek pl wyklad 7 odpady torfowe weglowe wyklad
wyklad 9 Wnioskowanie o proporcjach PL [tryb zgodności]
notatek pl teoria polityki wyklady

więcej podobnych podstron