8342937120

MAT ROFA BIN ISMAIL

r = 0 menggambarkan titik keseimbangan (0, 0) manakalar=2menggambarkan ki taran had dengan jcjari 2. Penyelesaian ini sudah dikenali umum (lihat umpamanya Jordan dan Smith op.cit).

Jika /i * 0 dan <p = persamaan (3.17) menjadi u - \r + - r³ = 0 atau r³ - 4r + -p = 0

^4    A

Jika ditakrifkan f, (r) = r³ - 4r + 4y; maka bo-

leh ditunjukkan bahawa f, (0) > 0 dan r = ialah titik minimum f, dan

8

3

lVi)

.H    16

A ⁼ ‘ 3^

₊ 4—

Kita pcrtimbangkan 3 kes berikut:

—Ł + A— > 0 maka f tidak mcm* 3V3 A

(i) Jika -

punyai pensifar positif.

(ii)    Jika - —^ + 4^- < 0 maka f mempunyai

3V3    A

2 pensifar positif

jjj

(iii)    Jika - —+ 4— = 0 maka f mempunyai

3V3    A

1 pensifar positif.

Kes ketiga memberikan persaman diwicabangan bagi fungsi fj(r) sebagai

4

Kewujudan penyelesaian positif r bermakn kewujudan penyelesaian (3.10), iaitu

x = r kos(t) + w*(r, A) (t) £ H_2r[

bagi persamaan Van der Pol (3.6). Ini bermakn. set dwicabangan ialah

<(jd_t A) l/i = ^ n> A > oj. I

Perlu disebutkan bahawa keputusan melalui analisi ringkas ini selari dengan keputusan yang diperolef oleh Lx?vinson (1943) dan Lloyd (1972), keranj kedua-duanyamenunjukkan terdapatnya sekurang kurangnya satu penyelesaian berkala bagi sister (1.2), manakala Lloyd (ibid) menunjukkar terdapatnya penyelesaian berkala yang unik bag suatu rantau dałam satah (/i, A). Dałam analisisin kami telah menunjukkan bahawa satah (/i, A terbahagi kepada dua bahagian oleh persamaat

fd = — ^3A, /i, A > 0 sedemikian hingga dibaha

gian bawah garis lurus tersebut terdapat ! penyelesaian berkala, manakala di atasnya terdapa penyelesaian berkala unik.

(3.18)

K

Jika 0 = - maka persamaan (3.17) menjadi

-/i - Ar + 4* r³ = 0 atau r³ - 4r - 4^- = 0.

A

KESIMPULAN

Untuk semua nilai positif fd dan A, persamaar Van der Pol

x + A(x² - 1) x + x = /i kos(t); /d_t A keci

ada penyelesaian berkala dengan kalaan 2* Bilangan penyelesaian berkalanya berubar daripada 1 kepada 3 bila parameter fd dan A

mcmotong set dwicabangan /J

Jika ditakrifkan f,,(r) = r³ -4r - 4— , maka

boleh ditunjukkan bahawa ^2(®) ^< 0 dan ^r -

V3

ialah titik minimum f . Mudah ditunjukkan bahawa

_2

lViJ

bawa kepada natijah bahawa f_g(r) = 0 ada satu dan hanya satu punca positif.

Olch yang demikian, sistem persamaan (3.16) dan (3.17) ada 3 penyelesaian positif r,

jika fd < — v3 A, dan 1 penyelesaian positif r,

t

jika

74

< 0 uniuk semua dan A positif. Ini mem-

PENGHARGAAN

Penulis merakamkan ucapan terima kasih kepad: Dr. David Chillingworth dari University o Southampton, United Kingdom kerana men cadangkan masalah yangdibincangkan dałam kerta ini kepada penulis. Beliaujuga memberi beberap cadangan terhadap kaedah penyelesaiannya.

RUJUKAN

Arnold, V.I. 1968. Singularities of Smooth Map* Russian Math. Surueys 23 (l):3-44.    *    3

Brooker, I. and Lander L 1975. Differential Gen# and Catastrophes, LMS Lecture Notes Series, 1 Gamb. Urn. Press.

Chow, S.N. and Hale.J.K 1982. Methods ojBifurcatiff

PERTAN1KAYOL. 14N0.1,1991