9414912955

c) prosta przechodzi przez punkt P = ( 0, —2,3 ) i jest prostopadła do płaszczyzny TC : 3x—y + 2z = 6;

d) prosta przechodzi przez punkt P = ( 7,2,0) i jest prostopadła do wektorów Vi =(2,0,—3),

V₂ = ( —1,2,0 );

e) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste

/    * + 2    y~⁴ z - 2    , .r + 2    y~4    _z

*'    ^:    3    “ -1    " 2 ’    ^12    :    1    " -5    3’

f*) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste

/    , .r + 6    y-1 z+ 29

¹¹ •    ₂    -1    2 ’ ¹² ■    4    -3    -12 '

Wzajemne położenia punktów, płaszczyzn i prostych

Zadanie 15 [5.15] Zbadać, czy

X = l+t

y = 2 + 2? , gdzie Te R: z = 3-t

a) punkty A = ( 1,2,3), B = (— 1,— 2,0) należą do prostej /:

b) prosta m :

I 2x+y-z + 3 = 0    ,    .    , , _{n A}

<    '    jest zawarta w płaszczyźnie 7C : jy — Jz + 1J = U;

[ x-2y + z-5 = 0

[x = -1 +s + t

c) punkty A = (0,1,5), B = ( 1,2,3) należą do płaszczyzny    \ y = 2 + 3s — t , gdzie 5,1 e R

z = 3 — s + 2t

y- 1 _ z-2

. i . ^x+l y~³    z+⁴ / . * y~¹    z-2    .

d) proste /| :    = —j— =    *2 : y = ““j^- = —— mają punkt wspólny;

X =    1

e) prosta / : \ y = 1+21 , gdzie te R, jest równoległa do płaszczyzny 7C:x+y — z + 3 = 0.

[z = 2 + 3i

Zadanie 16 [5.16] Znaleźć punkty przecięcia:

«    , u 7 . J x + 2y-z + 4 = 0    ,

a) prostych /i :    „ , h ■

[ y+z-3 = 0

2x—y — 2z + & = 0 x+2y + 2z — 5 = 0

b) prostej /:

x — 1 0

y + 2 3

i płaszczyzny 7C :

X = s + t

y = 1+5 + 21 z = 3 + 25 + 41

, gdzie 5,1 e R;

c) płaszczyzn 7C| : 3x+y + z + 1=0, 7C2: x+2z + 6 = 0, TI3 : 3x+2z = 0.

Zadanie 17 [5.17] Obliczyć odległość:

a)    punktu P = ( 1, -2,3 ) od płaszczyzny TC : X+y - 3z + 5 = 0;

b)    płaszczyzn 7Ci : 2x+y - 2z = 0, 712 : 2x+y — 2z~3 = 0;

c)    płaszczyzn 7C1 : x - 2y + 2z + 5 = 0, 7C2 : 3x - 6y + 6z - 3 = 0;

d)    punktu P = ( 0,1,— 1 ) od prostej /:- = — = -;

1    a—1    y +1    z x    y i    z~~3

e)    prostych równoległych l\ : —j— = ^    = _ą =    ;

[ jc = 0

f)    prostych skośnych l\ : {    , /₂ :

U = 0

.    . I *-⁹    3,-2    2    i Jt    J”¹-⁷    Z-2

8) prostych /i : — = — = h : rj = ~ = 2 '