9414913079

dla wszystkich wartości x zachodzi tylko gdy Ai = A2 = A3 = 0. To widać:

Ai(x + 1) + A2(x — 1) + A3(x² + x) = (Ai — A2) + (Ai + A2 + Aa)a: + A32:² = 0 ,

wymaga by A3 = 0, oraz Ai — A2 = 0 i Aj + A2 = 0. A to rzeczywiście tylko dla Ai = A2 = 0. Czyli są liniowo niezależne, a zatem tworzą bazę. Chcemy teraz napisać

v = 2x² + 3x + 1 - w^¹ + w₂v² + w₃u³

= (x + l)*;¹ + (x — \)v² + (x² + x)v³ .

Czyli v³ — 2 oraz v^x + v² + v³ = 3 i V¹ — v² = 1. Stąd V¹ = 1, v² = 0. Istotnie 1 • {x + 1) + 2 • (x² + x) = 2x² + Sx + 1 .

Zadanie 18

W bazie ei, e2, e3, wektory Vi, v₂, V3, mają składowe (współrzędne) (1,2,1), (2,3,3) oraz 3,8,2), zaś wektory w_l5 w₂, w₃ mają w tejże samej bazie składowe (3,5,8), (5,14,13) i ((1,9,2). Sprawdzieć, że trzy wektory Vi, v₂, v₃ lub trzy wektory w_lt w₂, w₃ także tworzą dwie inne bazy tej samej przestrzeni i znaleźć macierz przejścia z jednej z nich do drugiej.

Odp.: mamy

vi = ei + 2e₂ + e₃ ,

V2 = 2ei + 3e2 + 3e3 ,

V3 = 3ej + 8e₂ + 2e3 ,

Drugie od 2 x pierwszego: 2vj — v₂ = e₂ — e₃, czyli e₃ = e₂ — 2vx + v₂. To do pierwszego i trzeciego:

vi = ei + 2e₂ + e₂ - 2vi + v₂ , v₃ = 3e_x + 8e₂ + 2(e₂ - 2v! + v₂) ,

czyli

3vj — V2 — ei + 3e₂ ,

4vj — 2v2 + V3 = 3ei + 10e₂ ,

Teraz pierwsze x3 od drugiego i mamy e2 = — 5vi + v₂ 4- v₃. Zatem

ei = 3vi — v₂ — 3(—5v! + v₂ + v₃ , e₃ = —5vi + v₂ + v₃ - 2v_x + v₂ .

Reasumując:

ei

e₂

e₃

= 18vi - 4v₂ - 3v₃ ,

= -5vi + v₂ + v₃ ,

= —7vi + 2v₂ + v₃ .

12