1629289602

20 3. Wierzchołki i krawędzie

Algorytm szukania wierzchołków.

Z nierówności opisujących wielościan wybieramy n liniowo niezależnych. Zamieniamy je na równania i rozwiązujemy otrzymany układ n równań.

Ponieważ równania są niezależne rozwiązanie jest jednoznaczne. Jeżeli rozwiązanie spełnia pozostałe nierówności, to otrzymaliśmy wierzchołek.

Procedurę tą możemy stosować

razy.

Analogicznie możemy opisywać krawędzie.

Twierdzenie 3.3. Niech p będzie punktem wielościanu W C Rⁿ, opisanego układem: [ oi • x < 6i I a₂ • x < i>₂

[ at • x < bt

Dodatkowo zakładamy, że równania są tak ustawione by: ai»p =bi dla 1 < i < s; ai»p <bi dla s < i < t;

Wówczas równoważne są warunki:

1)    p jest punktem wewnętrznym krawędzi wielościanu W. (p € rint(W) )

2)    p jest środkiem odcinka zawartego w W, ale nie jest środkiem koła ( kuli wymiaru 2 ) zawartego w W.

ai '

3) rząd macierzy A_p = n — 1 gdzie A_p =

<*2

, jest podmacierzą macierzy

opisującej W złożoną z pierwszych s wierszy tej macierzy.

Wniosek 3.3. Wielościan ma co najwyżej skończoną liczbę krawędzi. Dokładniej: Jeżeli W jest wielościanem w Rⁿ opisanym przez t pólprzestrzeni to W zawiera co najwyżej krawędzi.

Algorytm szukania krawędzi.

Z nierówności opisujących wielościan wybieramy n — 1 liniowo niezależnych. Zamieniamy je na równania i rozwiązujemy otrzymany układ n — 1 równań.

Ponieważ równania są niezależne więc rozwiązaniem jest prosta, nazwijmy ją l. Aby wyliczyć krawędź zawartą w otrzymanej prostej przedstawiamy ją w postaci parametrycznej l = q + ta, t € E.