1629290287

(20)

Dla belki wspornikowej z rys. 2 jej lewy koniec jest utwierdzony. Ma on więc trwale taki kształt, że

y(0, t) = 0 oraz y,_x (0,t) = 0    (18a)

Te warunki brzegowe są typowo geometryczne. Prawy koniec belki jest swobodny, co oznacza, że moment zginający i siła tnąca na prawym końcu belki są zerowe.

Wynika stąd, że

El³ v(’^=⁰ oraz 4-\eI(^x)^    = ° ^(l8b)

dc    o*[_    dc J

co daje warunki dynamiczne.

Liczba warunków brzegowych równa jest rzędowi równania różniczkowego ze względu na przestrzenną zmienną niezależną*.

Do rozwiązania równania (17) zastosujemy metodę Fouriera, znaną też pod nazwą metody rozdzielenia zmiennych. Postulujemy więc rozwiązanie w postaci

y(x,t) = 4>(x)q(t)    (19)

gdzie 0 jest funkcją zmiennej przestrzennej x, zaś q jest funkcją czasu t. Funkcja $*) opisuje kształt rozważanego obiektu, czyli postaci drgań, natomiast funkcja q(t) posiada wszelkie cechy współrzędnej uogólnionej, gdyż opisuje ona zmianę w czasie wychylenia każdego punktu belki.

Po podstawieniu (19) do (17) i podzieleniu przez p(x)ij>(x)q(t) otrzymujemy

¹ d* \mx)^d2*^x)]    ¹ d'^q{,)

H(x)<p(x) dx² L dx- \    <?(0 dr

Lewa strona równania (20) jest funkcją wyłącznie zmiennej *, a prawa funkcją wyłącznie zmiennej /. Aby taka równość była możliwa, obie strony muszą być równe stałej, co prowadzi do dwóch równań różniczkowych zwyczajnych

l-a)‘Mi¥W-0    (21)

dx l dx J

mocowania belki jest najbardziej popularny w zastosowaniach lotniczych. Tym niemniej należy mieć jakieś wyobrażenie o innych typowych warunkach brzegowych (np. układ belek swobodnie podpartych jako model flatte-ru powłokowego). Typowość obejmuje następujące przypadki: belka swobodnie podparta; belka obustronnie utwierdzona i belka swobodna. Sformułowanie samych warunków nie przysparza kłopotów nawet przeciętnym studentom, a omówienie rozwiązań dla tych warunków można znaleźć w dobrych książkach z teorii drgań (np. [3]). Rzadko jednak poruszany jest w nich następujący temat: dlaczego pozostałe dwie pary warunków, a mianowicie

,.0li(H/)=0    (23)

dx

oraz

/ = 0i£7/ = 0    (24)

nigdy nie są brane pod uwagę? Przecież z punktu widzenia teorii równań różniczkowych warunki (23) i (24) są poprawne! Okazuje się, że racjonalna odpowiedź na to pytanie wymaga wiedzy znacznie wykraczającej poza teorię drgań i sięga aż do zagadnienia Sturma-Liouville’a (zob. np. [5], sec. 5.5-5.Ó), którego konkretyzacją u nas jest zagadnienie na wartości własne (21).

8. PODSUMOWANIE

Warto podkreślić, że umiejętności modelowania za pomocą obu metod mogą być przydatne przy modelowaniu obiektów innych, w tym nielotniczych, np. konstrukcji budowlanych (mosty, wieże, kominy, wysokie budynki), pewnego rodzaju sprzętu sportowego (narty, oszczep, tyczka), etc.

Przedstawiona metodyka tworzenia modeli umożliwia osłabianie założeń dla modelu wyjściowego, co wiedzie do uzyskania modeli wzbogaconych, np. belki Rayleigha (poprzez uwzględnienie obrotów przekrojów poprzecznych) lub belki Timoszenki (poprzez uwzględnienie wpływu naprężeń stycznych na ugięcie belki). Więcej informacji dotyczących obu modeli można uzyskać w [7].

d²qU)

dr

+ a/‘q(t) = 0

(22)

LITERATURA

Zagadnienie wyznaczania wartości parametru a)², dla której jednorodne równanie różniczkowe (21) ma rozwiązanie (/>(x) niezerowe i które spełnia jednorodne warunki brzegowe (18), nosi nazwę zagadnienia na wartości wla-

7. UWAGI O WARUNKACH BRZEGOWYCH

W pracy przedstawiliśmy rozwiązanie tylko dla belki wspornikowej, dla której warunki brzegowe dane są w postaci (18). Uzasadnienie jest oczywiste: taki sposób

[1]    Arczewski K., Pietrucha J.: Mathematical Mo-delling of Complex Mechanical Systems, Ellis Horwood, 1993.

[2]    Bijak-Żochowski M. i inni: Wytrzymałość konstrukcji, t.l. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2004.

[3]    Bisplinghoff R.L. i inni: Aeroelasticity, Addison-Wesley Pub. Comp., Reading (Mass.), 1955.

[4]    Gelfand I.M., Fomin S.W.: Rachunek wariacyjny. PWN, Warszawa 1979.

[5]    Meirovitch L.: Analytical Methods in Vibrations, The Macmillan Co., NY 1967.

6