1935182611

Spis treści

0.1    Liczby naturalne.................................... 3

0.2    Liczby rzeczywiste.................................... 5

0.2.1 Nierówności................................... 8

0.3    Ciągi liczbowe ..................................... 12

0.4    Szeregi liczbowe..................................... 22

0.5    Iloczyny nieskończone.................................. 26

0.6    Szeregi potęgowe.................................... 28

0.1 Liczby naturalne

Peano zaksjomatyzowal pojęcie zbioru liczb naturalnych zadając następujące postulaty tworzące aksjomatykę Peano.

Definicja 0.1.1 (Aksjomaty Peano) Istnieje zbiór N oraz funkcja * € N^N, które spełniają:

1.    0 € N,

2.    ->(3n € N) * (n) = 0,

3.    * jest różnowartościowa na N tj. (Vm, n € N) m n —> *(m) ^ *(n),

4. (Vz)(0 € z A (Vn 6 N)n € z —> *{n) € z) —► NCz.

Ostatni aksjomat jest tak zwana zasadą indukcji matematycznej. Ponadto, * jest tak zwaną funkcją następnika i wtedy przyjmujemy zasadę, że piszemy 1 = *(0), n +1 zamiast *(n), dalej 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, itd.

W dodatku można znaleźć więcej informacji o tematyce poświęconej aksjomatom Peano, mianowicie z niesprzecznosci teori mnogości ZFC, wynika istnienie zbioru liczb naturalnych (który spełania wszystkie aksjomaty Peano).

Tak więc ostatni aksjomat możemy zapisać jako

Definicja 0.1.2 (Zasada indukcji matematycznej) Jeśli z jest zbiorem takim że

3