2048738916

CRONE [93, 94, 113], które dały możliwość sterowania układami spełniającego najbardziej wymagające kryteria stawiane układom regulacji.

Podjęto próby stworzenia ogólnej teorii obejmującej wszystkie te zjawiska fizyczne opisywane równaniami niecałkowitego rzędu i podania własności tych układów poprzez przeniesienie tych zagadnień w przestrzeń stanu. Tematykę tę podejmowano w pracach [89, 91, 96, 98, 105, 118] dla układów ciągłych oraz [13, 14, 90, 97, 115] dla układów dyskretnych.

Zbadano już wiele zagadnień dotyczących jednowymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych w przestrzeni stanu, między innymi ich dodatniość [42, 43, 49, 58, 59] oraz stabilność asymptotyczną [6, 7, 9, 10, 11, 15, 17, 45, 104]. Stabilność i stabilizacja dodatnich układów niecałkowitego rzędu była tematem prac [54, 55, 61]. Rozwiązano problemy sterowalności, osiagalności i obserwowalności w pracach [16, 38, 39, 76, 77], Realizacji układów niecałkowitego rzędu poświęcone są prace [46, 92, 114].

Obecnie rachunek różniczkowy i różnicowy niecałkowitego rzędu zaczyna być stosowany do zagadnień bardziej skomplikowanych, które dotyczą dwóch lub większej liczy wymiarów. W literaturze odnaleźć można wiele prac, w których autorzy dowodzą, że opis zjawisk fizycznych z różnych obszarów nauki za pomocą równań różniczkowych i różnicowych cząstkowych niecałkowitego rzędu daje lepsze rezultaty niż stosowanie klasycznych równań całkowitych rzędów. Najbardziej popularnym zjawiskiem tego typu jest równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu opisujące procesy tzw. superdyfuzji i anormalnej adwekcji [83, 95, 123]. Innymi przykładami są równanie linii długiej niecałkowitego rzędu [87, 88, 102] oraz badanie procesów lepkosprężystości [21, 30].

W pracy [41] T. Kaczorek wprowadził pojęcie dwuwymiarowego dyskretnego układu niecałkowitego rzędu. Rozpoczęło to analizę modeli dwuwymiarowych w przestrzeni stanu o niecałkowitych rzędach różnic. Rozpatrzono podstawowe zagadnienia teorii sterowania tego typu modeli, tj. dodatniość [44, 52], stabilność [48, 60] i osiągalność [56]. Wyniki te podsumowane są monografiami [57, 62].

Wszystkie wyżej wymienione prace dotyczą standardowych układów dyskretnych. W literaturze brakuje modeli ciągłych dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu. Analiza równań niecałkowitych rzędów opisujących zjawiska, gdzie analizowane sygnały (funkcje) są zależne od dwóch zmiennych niezależnych pokazuje, że zapis w przestrzeni stanu daje modele singulame (z osobliwą macierzą E stojącą przy pochodnych/różnicach niecałkowitych rzędów). Stało się to motywacją dla autora, aby za cel rozprawy doktorskiej postawić opracowanie teorii ciągłych oraz dyskretnych modeli dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu, która uwzględni również ich singularność.

Przyjęto strukturę modelu podobną do tej, którą zaproponował dla układów dyskretnych R. P. Roesser [106]. Charakteryzuje się ona podziałem wektora stanu na dwa podwektory - horyzontalny (poziomy) oraz wertykalny (pionowy). Dla każdego z podwektorów stosuje się różnicę w innym wymiarze (względem innej zmiennej ciągłej lub dyskretnej). Opierając

4