262080415

A. PAWEŁ WOJDA

•    Z twierdzenia o wyznaczniku Vandermonde’a można wywnioskować, że jeśli równanie charakterystyczne (5) ma k różnych rozwiązań rr, 7*2,rfc, wówczas rozwiązanie (1) ma (jedyne) rozwiązanie postaci

^a'n = ^cl^rl + ^c2^2 + ••• + Cfc^rfc

To oczywiście oznacza, że w przypadku istnienia k różnych pierwiastków równania charakterystycznego problem równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach jest teoretycznie rozwiązany^{1 2 3}.

Powiedzieliśmy także (już bez dowodu), że jeśli ro jest /-krotnym rozwiązaniem równania charakterystycznego, wówczas takie rozwiązanie dostarcza nam / niezależnych rozwiązań (1), mianowicie r^nrf},..., n^,_1rg ■

Równanie niejednorodne nauczyliśmy się rozwiązywać stosując metodę przewidywań. Metoda ta polega na zastosowaniu następującego algorytmu postępowania.

•    Metodę stosujemy wyłącznie do przypadku gdy w równaniu (4) funkcja g jest postaci

g(n) = [lą¹¹

•    Przewidujemy rozwiązanie postaci

a'ń = An^l~^lqⁿ

gdzie / jest krotnością pierwiastka charakterystycznego q (czyli przewidujemy rozwiązanie postaci a” = Aqⁿ jeśli q nie jest pierwiastkiem charakte-rystycznym).

•    Teraz nadszedł moment uwzględnienia faktu, że zadane mamy pierwsze k wyrazy ciągu: znajdujemy takie ci,C2, ...,Cfc by

a_n = a!_n + a'ń

spełniały warunki początkowe problemu, czyli tak, by a!_i + a" = di dla i — 0,1,..., k — 1 Przykład 2. Równania

a_n — 3a_n_i = 5 • 7ⁿ a_n — 3a_n-i = 5 • 3ⁿ

a₀ = 4.

2.3. Metody zliczania.

1

Właściwie byłby rozwiązany, nie tylko teoretycznie, gdybyśmy umieli rozwiązywać równania

2

algebraiczne. Tymczasem nie tylko tego nie umiemy, ale wiemy, że metoda rozwiązywania takich

3

równań nie istnieje.