262080630

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej:

S,=JŚf

nazywamy odchyleniem standardowym resztowym. Informuje ono o ile, średnio rzecz biorąc, wartości teoretyczne y, (wynikające z modelu) różnią się in plus lub in minus od wartości empirycznych (zaobserwowanych) y,.

Mając wariancję resztową S_e², tj. nieobciążony estymator wariancji składnika losowego o², możemy znaleźć nieobciążony estymator macierzy kowariancji estymatorów parametrów: Twierdzenie

Nieobciążonym estymatorem macierzy kowariancji estymatora MNK, tj. macierzy V(b) jest macierz:

D²(b) = S_e²(X^TX)-‘.

Pierwiastek kwadratowy z j-tego elementu diagonalnego macierzy D²(b), który zwykle oznaczamy symbolem D(bj), nazywamy BŁĘDEM ŚREDNIM SZACUNKU oceny bj. Informuje nas o ile, średnio rzecz biorąc, in plus lub in minus ocena bj różni się od rzeczywistej wartości parametru fi).

Niech (X^TX)-' = [dy] zatem

V(bj) = o² djj — wariancja j-tego parametru regresji D²(bj) = S_e²djj — ocena wariancji j-tego parametru regresji D(bj) = S_eyfd~ — błąd średni szacunku j-tego parametru regresji

Błąd średni szacunku jest indykatorem jakości (precyzji) oszacowania danego współczynnika regresji.

Zauważmy, że wektor składników resztowych e jest ortogonalny do macierzy obserwacji na zmiennych objaśniających X:

X^Te = e^TX = 0, bo X^Te = X^T(y - Xb) = X^Ty - X^TX(X^TX)-‘ X^Ty

zatem

e'e = y'y- b 'X^ry = y’y - (Xb)^ry = y^ry - y^ry = y^ry- y^r(y + e) =

= y^ry-y^ry+y^re = y^ry-y^ry + b'x^re = y^ry-y^ry stąd

y⁷y = y⁷y + e⁷e.

A oto rozpisany układ równań normalnych w przypadku ogólnym:

±4	~L^X, '	■				t*„y,
X^x,2^xn		' Ż*, 2*«C / = 1		V t>2		Ź^x, ,y,
Ev,i	■	Ż4		^bK_		Żw,

Ekonometria, Antoni Goryl, Anna Walkosz strona 9