Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Metody sztucznej inteligencji
Układy sterowania neuronowego, regulator P i PD
Mirosław Tomera, Anna Waszkiel
1. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z procedurą implementacji prostych regulatorów neuronowych,
tworzonych w oparciu o radialne sieci bazowe (RBF) i zastosowanie ich w układach regulacji
z obiektami nieliniowymi.
2. WPROWADZENIE
Sztuczne sieci neuronowe są stosowane do sterowania wieloma procesami. Szczególną przydatność
sieci neuronowe wykazują tam gdzie procesy są złożone, nieliniowe lub nieokreślone. Zastosowanie
sztucznych sieci neuronowych jest szczególnie interesujące w takich przypadkach gdy:
a) modele matematyczne obiektu słabo opisują proces rzeczywisty lub nie istnieją i modele
matematyczne liniowe są nieodpowiednie do opisu układu z wystarczającą dokładnością;
b) układ sterowania pracuje poprawnie z istniejącym regulatorem lecz jego jakość w każdych
warunkach jest niewystarczajÄ…ca i wymagany jest regulator nieliniowy.
Sztuczne sieci neuronowe potwierdziły swoją przydatność do aproksymacji nieliniowości i do
strojenia swoich parametrów w oparciu o wzorcowe dane wejściowe i wyjściowe. W dziedzinie
sterowania tylko niektóre z istniejących modeli sztucznych sieci neuronowych mogą być
wykorzystywane, głównie są to:
1) perceptrony wielowarstwowe (MLP  Multilayer Perceptron Networks);
2) sieci neuronowe radialne (RBF  Radial Base Function networks).
Wielowarstwowe sieci neuronowe, określane również jako perceptrony wielowarstwowe MLP,
składają się z warstwy wejściowej, jednej lub kilku warstw ukrytych i warstwy wyjściowej. Sygnały
wejściowe przepływają przez sieć w jednym kierunku, od wejścia do wyjścia poprzez kolejne
warstwy. Perceptrony sÄ… uczone tzw. metodÄ… z nauczycielem przy wykorzystaniu algorytmu
propagacji wstecznej.
Podstawowa struktura sieci neuronowych radialnych (RBF) składa się z trzech warstw.
Warstwa pierwsza jest warstwą pasywną i służy do podłączenia sygnałów wejściowych. Warstwa
druga jest warstwą ukrytą i realizuje przekształcenie nieliniowe wektora wejściowego na wektor
wewnętrzny. Ostatnia warstwa przekształca w sposób liniowy wektor wewnętrzny na wektor
wyjściowy.
3. SZTUCZNE SIECI NEURONOWE TYPU RBF
Sztuczne sieci neuronowe radialne (Radial Basis Function) stanowiÄ… specjalnÄ… grupÄ™ sieci
neuronowych o charakterystycznej topologii oraz budowie poszczególnych neuronów w warstwie
ukrytej. Sieci RBF majÄ… strukturÄ™ typu feedforward, zatem istnieje w nich jeden ustalony kierunek
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera 1
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
przepływu danych pomiędzy poszczególnymi warstwami sieci neuronowej. Opisywana sieć składa się
z trzech warstw: pierwszą z nich jest warstwa wejściowa, w której formowany jest wektor wejściowy
neuronów kolejnej warstwy; następną  warstwa ukryta, którą tworzą neurony o radialnej funkcji
aktywacji; warstwa wyjściowa składa się z neuronów liniowych, których liczba jest uzależniona od
wyjść (rys. 1).
1
b1
w11 b2
x1
w1m
w21
yl
x2
w2m
wh1 whm
ym
xn
warstwa warstwa
warstwa
wejściowa wyjściowa
ukryta
Rys. 1. Sztuczna sieć neuronowa typu RBF.
Jako funkcja aktywacji neuronów warstwie ukrytej najczęściej stosowana jest funkcja Gaussa o
postaci
%"x-mi%"2
Ri( x )=exp -
(1)
( )
2Ãi2
mi Ãi
gdzie x jest wektorem wejściowym, jest środkiem a odchyłką standardową funkcji Gaussa.
Wartości wyjściowe sieci obliczane są jako suma sygnałów wyjściowych kolejnych neuronów
radialnych przemnożonych przez odpowiednie współczynniki wagowe
N
yk= wik Ri( x )+bk
" (2)
i =1
yk wik
gdzie jest wyjściem k-tego neuronu wyjściowego, jest współczynnikiem wagowym
bk
pomiędzy wyjściem i-tego neuronu warstwy ukrytej a k-tym neuronem wyjściowym, jest
wartością współczynnika progowego k-tego neuronu wyjściowego (bias).
Procedura strojenia sieci RBF składa się z trzech etapów obejmujących kolejno wyznaczanie:
centrów neuronów ukrytych, parametrów odpowiadających szerokości funkcji radialnych
poszczególnych neuronów ukrytych, współczynników wagowych pomiędzy warstwą ukrytą a
mi
wyjściową. W celu rozmieszczenia centrów funkcji radialnych , przestrzeń dzielona jest na
obszary i każdy obszar przestrzeni charakteryzowany jest przez punkt centralny wyznaczany jako
średnia wartości wszystkich elementów rozpatrywanego obszaru. Centrum danego obszaru odpowiada
centrum kolejnej funkcji radialnej. W związku z tym liczba rozpatrywanych obszarów jest równa
liczbie neuronów w warstwie ukrytej.
Ãi
Kolejnym istotnym etapem doboru parametrów sieci RBF jest wyznaczenie parametrów
okreÅ›lajÄ…cych ksztaÅ‚t funkcji radialnych neuronów ukrytych. JeÅ›li wartość parametru à jest
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 2
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
zmniejszana to zwiększa się szerokość funkcji radialnej (Rys. 2). Następnie wyznaczane są wartości
wag pomiędzy warstwą ukrytą a wyjściową.
Rys. 2. Wpływ parametru à na kształt funkcji Gaussa (m=0)
Specyficzna budowa oraz sposób przetwarzania sygnałów umożliwia odtwarzanie za pomocą sieci
RBF dowolnej nieliniowej funkcji za pomocÄ… jednej warstwy ukrytej.
4. REGULATOR NEURONOWY P-RBF
Utworzony regulator neuronowy P-RBF wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym P
u (t )=K e(t ) (3)
P
Sieć neuronowa zastosowana do utworzenia regulatora P-RBF pokazana została na rysunku 3. Składa
się z jednego wejścia i jednego wyjścia oraz z pięciu neuronów o radialnej funkcji aktywacji opisanej
wzorem
2
(e (t )-mi)
Ri( e(t ))=exp - , i = 1...5 (4)
( )
2Ãi2
Rozmieszczenie funkcji aktywacji względem sygnału wejściowego pokazane zostało na rysunku 4.
1
w1
2 w2
ge gu u(t)
e(t)
w3
3
w4
4
w5
5
Rys. 3. Sieć neuronowa RBF realizująca regulator P-RBF.
W warstwie wyjściowej wyznaczany jest sygnał sterujący
5
u (t )= wi Ri (e )
" (5)
i=1
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 3
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
Znormalizowane wartości współczynników wag znajdują się w tabeli 1. Opisywany regulator
neuronowy P-RBF ma nieliniową, statyczną charakterystykę przetwarzania sygnału wejściowego e(t)
na sygnał wyjściowy u(t). Kształt tej charakterystyki zależy od kształtu i rozmieszczenia funkcji
radialnych oraz wartości współczynników wag wi . Charakterystyka statyczna rozważanego tutaj
regulatora neuronowego P-RBF pokazana została na rysunku 5.
Tabela 1. Znormalizowane wagi sieci neuronowej P-RBF z rysunku 3
i 1 2 3 4 5
wi -1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
Rys. 4. Kształt i rozmieszczenie znormalizowanych radialnych funkcji aktywacji w kolejnych neuronach
warstwy ukrytej regulatora P-RBF.
Rys. 5. Charakterystyka sterowania regulatora P-RBF
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 4
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
Analizując zasadę pracy regulatora neuronowego P-RBF łatwo dojść do wniosku, że występuje tutaj
duże podobieństwo do regulatora rozmytego P-FL. Funkcje aktywacji warstwy ukrytej sieci RBF
zebrane na rysunku 4 wyglądają zupełnie tak samo jak wejściowe funkcje przynależności, natomiast
tabeli 2 zawierająca wagi warstwy wyjściowej wygląda jak baza reguł w regulatorze rozmytym P-FL.
4.1. Badania symulacyjne
Opisywany regulator neuronowy P-RBF zaimplementowany został w Simulinku w układzie
pokazanym na rysunku 6 w bloku o nazwie  P-RBF , którego wnętrze wraz z parametrami bloku  S-
Function pokazane zostało na rysunku 7.
Rys. 6. Model układu sterowania z regulatorem rozmytym P-RBF utworzony w Simulinku.
Rys. 7. Wnętrze bloku  P-RBF z rysunku 6 wraz parametrami S-funkcji.
Regulator neuronowy zapisany został w postaci S-funkcji o nazwie msf_prbf_05.m przy użyciu
następującego kodu Matlaba.
function [sys, x0, str, ts] = msf_prbf_05( t, x, u, flag, PRBF_GE, PRBF_GU)
% Regulator neuronowy P-RBF
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 5
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
global PRBF_nR % Liczba neuronów w warstwie ukrytej
global PRBF_center % Współrzędne położeń środków funkcji RBF
global PRBF_sigmae % Parametr funkcji radialnej Sigma
global PRBF_theta % Wektor zawierający znormalizowane wartości wag
switch flag,
case 0, % Initialization %
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates = 0;
sizes.NumDiscStates = 0;
sizes.NumOutputs = 1; % Liczba wyjść
sizes.NumInputs = 1; % Liczba wejść
sizes.DirFeedthrough = 1; % has direct feedthrough
sizes.NumSampleTimes = 1;
sys = simsizes(sizes);
str = [];
x0 = [];
ts = [0 0]; % inherited sample time
% Znormalizowane współrzędne wierzchołków radialnych funkcji bazowych
% i wag warstwy ukrytej
temp = [-1 -0.5 0 0.5 1];
PRBF_nR = 5; % Liczba neuronów w warstwie ukrytej
% Współrzędne wierzchołków funkcji radialnych w przestrzeni uchybu e
PRBF_ce = temp*PRBF_GE;
% Obliczenie współrzędnych środków funkcji radialnych
for i = 1:length( PRBF_ce)
PRBF_center(i) = PRBF_ce(i);
end
% Określenie znormalizowanych wag dla każdej funkcji radialnej
for i = 1:length(temp) % Wzdłuż przestrzeni e
thetamat(i) = temp(i);
% Nasycenie pomiędzy znormalizowaną wartością wyjścia
% minimalnÄ… i maksymalnÄ…
thetamat(i) = max([-1, min([1, thetamat(i)])]);
end
% Umieszczenie wag w wektorze
for i = 1:length(temp)
PRBF_theta(i,1) = thetamat(i);
end
% Wyznaczenie parametru sigma dla funkcji radialnych
PRBF_sigmae = 0.7*(2*PRBF_GE/PRBF_nR);
case 3, % Outputs %
e = u(1);
% Ograniczenie sygnału wejściowego do zakresu charakterystyki sterowania
if abs(e) > PRBF_GE,
e = PRBF_GE*sign(e);
end
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 6
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
% Obliczenie wyjścia sieci RBF
for i=1:PRBF_nR,
phi(i,1) = exp(-(((e-PRBF_center(i))^2)/PRBF_sigmae^2));
end
% Sumowanie i skalowanie poszczególnych pól
delta = PRBF_theta'*phi(:,1)*PRBF_GU;
% Wyjście z regulatora
sys = delta;
case { 1, 2, 4, 9 }
sys=[];
otherwise, % Unexpected flags (error handling)%
error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end
5. PROGRAM ĆWICZENIA
a. Korzystając z doświadczeń uzyskanych z badań regulatora liniowego P dobrać wzmocnienia
skalujące ge i gu w taki sposób, aby uzyskać możliwie najmniejsze przeregulowanie i czas
regulacji. Porównać badany regulator z regulatorem P-Fuzzy Logic Logic oraz klasycznym typu P,
zaprojektowanych w poprzednich ćwiczeniach. Należy wykreślić charakterystykę sterowania u(e).
b. Należy dokonać zmian parametru Ã, poprzez modyfikacjÄ™ współczynnika skalujÄ…cego w
PRBF_sigmae. Jaki ma to wpływ na działanie regulatora i powierzchnię sterowania?
c. Należy dokonać zmian liczby neuronów (zwiększenie Np. do 7 lub 9) PRBF_nR i zmian położenia
znormalizowanych współrzędnych wierzchołków funkcji bazowych temp. A następnie określić j Jaki
ma to wpływ na działanie regulatora i powierzchnię sterowania.
6. REGULATOR NEURONOWY PD-RBF
Utworzony regulator rozmyty PD-RBF wzorowany jest na klasycznym regulatorze liniowym PD
de(t )
u (t )=K e(t )+ K (6)
P D
dt
Regulator PD-RBF zbudowany na sieci neuronowej pokazany został na rysunku 9. Składa się z dwóch
wejść: e(t)  uchybu sterowania i de(t)/dt  pochodnej uchybu kursu i jednego wyjścia którym jest
sygnał sterujący obiektem u(t). Warstwa ukryta składa się z 25 neuronów o radialnej funkcji aktywacji
opisanej wzorem
(e(t )-m1i)2 -(c(t )-m2i)2 , i = 1...25
Ri( e(t ) , c(t ))=exp - (7)
( )
2Ã2 2Ã2
1i 2i
gdzie e(t) jest uchybem regulacji, c(t )=de(t )/dt - pochodnÄ… uchybu, m1i , m2i -
Ã1i Ã2i
współrzędnymi środków, natomiast , odchyłkami standardowymi funkcji radialnych.
Pojedyncza funkcja radialna pokazana została na rysunku 10.
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 7
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
w1
1
2 w2
ge
e(t)
w3
3
gu u(t)
gc
w23
de(t)/dt
23
w24
24
w25
25
Rys. 9. Sieć neuronowa RBF realizująca regulator PD-RBF.
Rys. 10. Pojedyncza, znormalizowana funkcja radialna występująca w regulatorze neuronowym PD-RBF
Funkcje aktywacji neuronów znajdujących się w warstwie ukrytej rozmieszczone zostały na polu
prostokÄ…tnym. Jednym bokiem prostokÄ…ta jest zakres zmian uchybu regulacji, drugim natomiast zakres
zmian pochodnej uchybu regulacji. Każdy bok prostokąta podzielony został na pięć jednakowych
odcinków, dzieląc w ten sposób pole prostokąta na 25 małych prostokącików. W środku każdego
z tych prostokącików składowych ustawiona została funkcja radialna. A
Ä…cznie na powierzchni tego
prostokąta ustawionych zostało 25 funkcji radialnych.
Wartości wag regulatora PD-RBF znajdują się w tabeli 2. Każda z pozycji tabeli odpowiada obszarowi
wyznaczonemu na powierzchni sterowania i jest powiÄ…zana z umiejscowionÄ… tam funkcjÄ… radialnÄ….
Wartości wag z tabeli 2 są wierszami przyporządkowane kolejnym neuronom znajdującym się
w warstwie ukrytej z rysunku 9.
Tabela 2. Znormalizowana tablica wag regulatora PD-RBF
cj
1 2 3 4 5
1 -1.0 -1.0 -1.0 -0.5
0.0
2 -1.0 -1.0 -0.5
0.0 0.5
ei
3 -1.0 -0.5
0.0 0.5 1.0
4 -0.5
0.0 0.5 1.0 1.0
5 0.0 0.5 1.0 1.0 1.0
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 8
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
Powierzchnia sterowania uzyskanego regulatora neuronowego PD-RBF pokazana została na rys. 11.
Rys. 11. Powierzchnia sterowania regulatora neuronowego PD-RBF,
Analizując zasadę pracy regulatora neuronowego PD-RBF można znalez
ć pewne podobieństwa do
regulatora rozmytego PD-FL. Tabela 2 zawierająca współczynniki wag warstwy wyjściowej wygląda
zupełnie identycznie jak baza reguł w regulatorze rozmytym.
5.1. Badania symulacyjne
Opisany regulator neuronowy PD-RBF zaimplementowany został w Simulinku w układzie
identycznym jak ten z rysunku 6 w którym blok  P-RBF został zastąpiony blokiem  PD-RBF którego
wnętrze pokazane zostało na rysunku 12.
Rys. 12. Wnętrze bloku  PD-RBF .
Algorytm regulatora rozmytego PD-RBF zrealizowany został jako S-funkcja o nazwie
msf_pdrbf_05.m zapisany w postaci następującego kodu Matlaba.
function [sys, x0, str, ts] = msf_pdrbf_05(t, x, u, flag, PDRBF_GE,
PDRBF_GC, PDRBF_GU)
% Regulator neuronowy PD-RBF
global PDRBF_nR % Liczba pól sieci RBF
global PDRBF_center % Współrzędne położeń środków funkcji RBF
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 9
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
global PDRBF_sigmae % Parametr funkcji radialnej Sigma na wejściu e
global PDRBF_sigmac % Parametr funkcji radialnej Sigma na wejściu c
global PDRBF_theta % Wektor zawierający znormalizowane wartości wag
switch flag,
case 0, % Initialization %
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates = 0;
sizes.NumDiscStates = 0;
sizes.NumOutputs = 1; % Liczba wyjść
sizes.NumInputs = 2; % Liczba wejść
sizes.DirFeedthrough = 1; % has direct feedthrough
sizes.NumSampleTimes = 1;
sys = simsizes(sizes);
str = [];
x0 = [];
ts = [0 0]; % inherited sample time
% Definicja parametrów
n = 2; % Liczba wejść
nG = 5; % Liczba funkcji na każdej krawędzi siatki
PDRBF_nR = nG^2; % Liczba wszystkich funkcji na rozważanej powierzchni
% Znormalizowane współrzędne wierzchołków radialnych funkcji bazowych
temp = [-1 -0.5 0 0.5 1];
% Współrzędne wierzchołków funkcji radialnych
% w przestrzeni uchybu e
PDRBF_ce = temp*PDRBF_GE;
% w przestrzeni pochodnej uchybu c
PDRBF_cc = temp*PDRBF_GC;
% Wyznaczenie współrzędnych środków funkcji radialnych
% w punktach przecięcia siatki
k = 0;
for i = 1:length( PDRBF_ce),
for j = 1:length( PDRBF_cc),
k = k+1;
PDRBF_center(1,k) = PDRBF_ce(i);
PDRBF_center(2,k) = PDRBF_cc(j);
end
end
% Określenie wag dla każdej funkcji radialnej
for i = 1:length(temp), % Wzdłuż przestrzeni e
for j = 1:length(temp), % Wzdłuż przestrzeni c
thetamat(i,j)=(temp(i) + temp(j));
% Nasycenie pomiędzy znormalizowaną wartością
% minimalną i maksymalną wyjścia
thetamat(i,j) = max([-1, min([1, thetamat(i,j)])]);
end
end
% Umieszczenie wag w wektorze
k = 0;
for i = 1:length(temp),
for j = 1:length(temp),
k = k+1;
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 10
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
PDRBF_theta(k,1)=thetamat(i,j);
end
end
% Wyznaczenie parametru sigma dla funkcji radialnych
PDRBF_sigmae = 0.7*(2*PDRBF_GE/nG);
PDRBF_sigmac = 0.7*(2*PDRBF_GC/nG);
case 3, % Outputs %
e = u(1);
c = u(2);
% Ograniczenia na sygnały wejściowe,
% dostosowanie do zakresów granicznych rozważanego prostokąta
if abs(e) > PDRBF_GE,
e = PDRBF_GE*sign(e);
end
if abs(c) > PDRBF_GC,
c = PDRBF_GC*sign(c);
end
% Obliczenie wyjść warstwy ukrytej sieci RBF
for i=1:PDRBF_nR
phi(i,1) = exp(-(((e-PDRBF_center(1,i))^2)/PDRBF_sigmae^2),...
-(((c-PDRBF_center(2,i))^2)/PDRBF_sigmac^2));
end
% Sumowanie i skalowanie poszczególnych pól
delta = PDRBF_theta'*phi(:,1)*PDRBF_GU;
sys = delta; % Wyjście
case { 1, 2, 4, 9 }
sys=[];
otherwise, % Unexpected flags (error handling)%
error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end
Dla modelu matematycznego statku ustawione zostały zerowe wartości początkowe, natomiast zadany
kurs statku w ukÅ‚adzie regulacji wynosiÅ‚ È =40o .
z
7. PROGRAM ĆWICZENIA
a. Korzystając z doświadczeń uzyskanych z badań regulatora liniowego PD dobrać wzmocnienia
skalujące ge , gc i gu w taki sposób, aby uzyskać możliwie najmniejsze
przeregulowanie i czas regulacji. Porównać badany regulator z regulatorem P-Fuzzy Logic oraz
klasycznym typu P, zaprojektowanych w poprzednich ćwiczeniach. Należy wykreślić charakterystykę
sterowania u(e,c).
b. Należy dokonać zmian parametru Ã, poprzez modyfikacjÄ™ współczynnika skalujÄ…cego w
PRBF_sigmae, PDRBF_sigmac. Jaki ma to wpływ na działanie regulatora i powierzchnię
sterowania?
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 11
Metody sztucznej inteligencji Układy sterowania neuronowego
c. Należy dokonać zmian liczby neuronów (zwiększenie Np. do 7 lub 9) nG i zmian położenia
znormalizowanych współrzędnych wierzchołków funkcji bazowych temp. A następnie określić j Jaki
ma to wpływ na działanie regulatora i powierzchnię sterowania.
9. OPRACOWANIE SPRAWOZDANIA
W sprawozdaniu należy opisać uruchomione i przebadane numerycznie układy sterowania
z regulatorami:
1. neuronowym P-RBF
2. neuronowym PD-RBF
Należy dokonać ich porównania z regulatorami klasycznymi i Fuzzy Logic. Należy zamieścić
charakterystyki sterowania dla wszystkich przypadków oraz opisać wpływ modyfikacji na działanie
układu sterującego.
Uruchomione modele matematyczne układów regulacji z w/w regulatorami przesłać pocztą
elektroniczną na adres prowadzącego zajęcia.
10. ZAGADNIENIA KONTROLNE
1. Co to sÄ… radialne sieci neuronowe ?
2. W jaki sposób w badanych regulatorach ustalone zostały parametry radialnych funkcji bazowych?
3. Jak na zmianę charakterystyki przetwarzania regulatora P-RBF wpływa zmiana wzmocnień
ge gu
skalujÄ…cych i ?
4. W przypadku zmiany liczby neuronów w warstwie ukrytej regulatora neuronowego jakie
dodatkowe zmiany trzeba dokonać w konfiguracji regulatora neuronowego.
5. Omówić struktury regulatorów neuronowych:
a) P-RBF
b) PD- RBF
LITERATURA
1. Osowski S., (2006), Sieci neuronowe do przetwarzania informacji, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa.
2. Passino K.M., Yurkovich S. (1998), Fuzzy Control, Addison Wesley Longman, Inc.
Available: www2.ece.ohio-state.osu.edu/~passino/FCbook.pdf.
Ostatnia aktualizacja: 2011-12-16 © M. Tomera, A. Waszkiel 12