3870137375

60

Z. Kordylewska, J.Kordylcwski i T. Styrylska

wektorów (macierzy jednokolumnowych) — małymi literami, skalarów — literami greckimi. Ponieważ jednak większość zastosowań rachunku wyrównawczego ujęta jest w postaci krakowianowej, podano dodatkowo (rozdział 1.5) zasadnicze wzory w symbolice rachunku krakowianowego ([1]). Dla oznaczenia krakowianów przyjęto półgrube litery (wyjątkiem jest T oznaczające krakowian jednostkowy lub transponowanie).

1. Spostrzeżenia bezpośrednie zawarunkowane z niewiadomymi. Z wyrównywaniem spostrzeżeń bezpośrednich zawarunkowanych z niewiadomymi mamy do czynienia, gdy wielkości obserwowane muszą spełniać pewne związki, a w związkach tych występują dodatkowo nieznane wielkości.

1.1.    Sformułowanie problemu. Zagadnienie wyrównywania spostrzeżeń bezpośrednich zawarunkowanych z niewiadomymi można, w oparciu o metodę najmniejszych kwadratów, ująć następująco:

Niech l oznacza wektor V spostrzeżeń o macierzy błędności F (macierz diagonalna stopnia V o elementach przekątniowych dodatnich). Szukamy takich v poprawek dla których

*7"*    * A

(1)    V¹ F ² v = minimum

z równoczesnym spełnieniem przez v wyrównanych spostrzeżeń x określonych związkiem

(2)    x = / + y

i przez o niewiadomych y układu X równań,tzw. warunków ścisłych,

(3)    Ax + By = w

sprowadzonych do postaci liniowej, przy czym A jest macierzą \xv, B jest macierzą X X a, a w jest wektorem o X składowych.

Prócz poprawek v, wyrównanych spostrzeżeń x i niewiadomych y należy wyznaczyć błąd średni jUo typowego spostrzeżenia (o błędności jednostkowej) oraz współczynniki G (macierz symetryczna stopnia 2v + o) pozwalające na otrzymywanie błędności i błędów średnich funkcji liniowych poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych. Wielkości te umożliwiają również obliczenie błędności i błędów średnich poprawek, wyrównanych spostrzeżeń i niewiadomych.

1.2.    Założenia. W dalszym ciągu będziemy oznaczać przez p(X) rząd macierzy X. W dowodzie lematu będziemy korzystać — bez każdorazowego powoływania się — z podstawowych twierdzeń algebry liniowej, dotyczących istnienia rozwiązań układów algebraicznych równań liniowych, w zależności od rzędów macierzy współczynników równań, a w dowodach twierdzeń — z zasad rachunku macierzowego. Wprowadzamy ponadto następujące założenia:

(i) Równania warunków są liniowo niezależne.

(ii)    Niewiadome y są wyznaczalne jednoznacznie.

(iii)    Warunek (1) ma istotny wpływ na rozwiązanie problemu.

(iv)    Równania warunków nie pozwalają na wyznaczenie y dla dowolnego x.

Założenie (i) nie zawężając ogólności rozważań jedynie je upraszcza, gdyż nie trzeba eliminować równań równoważnych, założenie (ii) zawęża rozważania jedynie do przypadków, w których występuje jednoznaczność rozwiązań, założenie (iii) ogranicza rozważania jedynie do przypadków niebanalnych, w których proces wyrównywania występuje w istotny sposób, a założenie (iv) upraszczając rozważania wyklucza jedynie rozwiązania banalne v = 0.