6830718825

str 1

W13/14

Uwarunkowanie zadania numerycznego i stabilność algorytmów

Normy wektorów i macierzy

W wiciu zastosowaniach fizyki i matematyki, szczególnie przy przeprowadzaniu obliczeń numerycznych, wygodnie jest wprowadzić pewne pojęcie, analogiczne do znanej z geometrii analitycznej długości wektora, a mianowicie normy wektora i normy macierzy.

W przestrzeni R" , której elementami są wektory x ^_ [ x,, x₂,... ,xJ^T, można wprowadzić wiele norm wektorów, przy czym w obliczeniach numerycznych najczęściej są stosowane następujące normy

II X II, - |x,| + |x₂| + .... +|xj norma "Manhattan"

II x ||₂ = (|Xj|² + ^l² +.... +|x_np ) ^1/2 norma druga

|| x 1^ ^_ ntax{ |xj|, |x₂|......|x_n| } norma nieskończoność

A = [a,j ] (i J = 1,2.....n ) - macierz kwadratowa stopnia n

Najczęściej stosowane normy macierzowe w analizie numerycznej norma kolumnowa, norma pierwsza

n

II A || = maxi |a; j|    maksymalna suma modułów w kolumnie

'    i = i

norma wierszowa, norma nieskończoność n

|| A || = maxj N¹ |a, J    maksymalna suma modułów w wierszu

OO    ' ^J

j = l

norma spektralna, norma druga

II A ||₂ = J_P(a^T-a)

gdzie p(B) = max { |X|: det(B - XI) ^- 0 } jest promieniem spektralnym macierzy B

Zadaniem numerycznym (obliczeniowym) nazywamy problem polegający na wyznaczeniu wyników na podstawie danych. Np. rozwiązanie układu równań liniowych Ax = b dla danych A i b jest zadaniem numerycznym.

Błędy danych, w tym także niewielkie względne zmiany danych z powodu wstępnego zaokrąglania, mogą powodować duże względne błędy wyników.

Mówimy, że zadanie numeryczne jest dobrze uwarunkowane, jeżeli niewielkie względne zaburzenia danych zadania powodują również niewielkie względne zaburzenia jego wyników. Jeżeli natomiast niewielkie względne zaburzenia danych pociągają za sobą duże względne zaburzenia wyników, to mówimy, że zadanie numeryczne jest źle uwarunkowane.