1636660698

1. Błędy obliczeń numerycznych 19

1.5. Algorytm numerycznie stabilny i poprawny

Wiemy już, że jeśli nawet argumenty działania matematycznego wyrażają się w komputerze dokładnie to nie jest pewne, że wynik tego działania również będzie dokładny. W rozdziale 1.4 pokazaliśmy, że wynik każdej operacji arytmetycznej jest obarczony błędem reprezentacji liczby zmiennopozycyjnej. W przypadku algorytmów niestabilnych prowadzi to często do wyników niezgodnych z oczekiwaniami nawet co do znaku.

Niestabilność numeryczna powstaje wówczas, kiedy mały błąd numeryczny w trakcie dalszych obliczeń powiększa się (np. przemnaża się) i powoduje duży błąd wyniku. Niestabilność numeryczną możemy łatwo zaobserwować obliczając ciąg całek pokazany w przykładzie 1.8.

Przykład 7.8.

i

Obliczyć dla n = 0,1,..,15 całki: y_n = j*

o

Zauważmy, że:

. rx +5x    rx

y„ + ⁵X,-1 = I-— d* = I -

^J Y 4- S    ^J

x + 5

- ck.

5x"    , cxⁿ (* + 5)

x+ 5    i x + 5

ck =

Otrzymujemy wobec tego wzór rekurencyjny:

y* + 5y„-i = -.

n

na podstawie którego zbudujemy dwa algorytmy. Oba algorytmy zaimplementowano w języku C a przykładowe obliczenia realizowano z zastosowaniem reperezentacji zmiennopozycyjnej pojedynczej precyzji (wartości rzeczywiste reprezentowane na 4 bajtach).

Algorytm 1

Korzystając z wzoru:

1 .

y, =—s^-i.

n

mamy:

i ,

y₀ = f——— = ln(x + 5) |‘ = ln6 -ln5«0.18232156.

^J0 x + 5    ⁰