5192604473

Rozdział 3

Kopuły

Funkcje kopuła (z ang. copula functions, w polskiej literaturze również pod nazwą kopule, funkcje połączeń) stosowane są przede wszystkim do analizy rozkładu wielowymiarowego. Ich idea polega na przedstawieniu rozkładu wielowymiarowego poprzez dwie części: rozkłady brzegowe oraz funkcję łączącą. Okazuje się, że funkcja ta może być traktowana jako dystrybuanta wielowymiarowego rozkładu jednostajnego, o czym mówi Twierdzenie Skla-ra 3.2. Na początek przedstawione zostaną podstawowe definicje i twierdzenia związane z kopułami, a na końcu ukazane zostaną przykłady, przedstawiające kilka z najważniejszych rodzin kopuł. Podstawowym źródłem do napisania tego rozdziału była książka [8].

3.1 Podstawowe informacje dotyczące kopuł

Definicja 3.1 (Kopuła) [8]

Kopułą d-wymiarową nazywamy funkcję C : [0, l]^rf —» [0,1], C(u) = C(u\,U2, ■■■,u₍i) o jednostajnych rozkładach brzegowych, która spełnia następujące warunki:

1.    C(u\,...,Ud) jest niemałejąca dla każdego ui;

2.    C( 1,..., l,Ui, 1,..., 1) — Ui dla każdego i G 1, ...,d, Ui G [0,1];

3.    dla każdego (ai,..., ad), (b\,..., bd) 6 [0, l]^d, takich że ai < bi mamy

E - E (-i)*¹⁺’"^+<'^,c(“,i₁.

*i=l *d=l

gdzie Uji = aj oraz Uj2 = bj dla każdego j € 1,..., d.

Pierwsza własność jest wymagana przez każdą dystrybuantę rozkładu wielowymiarowego, natomiast druga własność jest wymaganiem dla jednostajnych rozkładów brzegowych. Co do ostatniej własności, gwarantuje nam ona, że jeśli wektor losowy U ma dystrybuantę C, to P(«i ^ tĄ ^61,...,    < Ud K bd) jest nieujemne.

19